Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSürekli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Bir kamu kurumuna yapılan özel sektör yatırım teşvik başvurularının ön inceleme süresi (hafta cinsinden) sürekli bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={c(x+1),1≤x≤30,dig˘er durumlarf(x) = \begin{cases} c(x+1), & 1 \le x \le 3 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir başvurunun ön inceleme süresinin en fazla 2 hafta olma olasılığı kaçtır?

  1. 512\frac{5}{12}Cevap
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    712\frac{7}{12}
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

İnceleme süresinin en fazla 2 hafta olma olasılığı 512\frac{5}{12}'dir.
Doğru yanıt olan 512\frac{5}{12} sonucuna ulaşmak için öncelikle fonksiyonun alt ve üst sınırları ([1,3][1, 3]) dikkate alınarak cc sabiti 16\frac{1}{6} olarak bulunur. Ardından 'en fazla 2 hafta' (X≤2X \le 2) dendiği için fonksiyonun tanımlı olduğu alt sınır olan 1'den başlanarak 2'ye kadar integral alınır. ∫12x+16dx=512\int_{1}^{2} \frac{x+1}{6} dx = \frac{5}{12} eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) temel özelliği olan toplam alanın 1'e eşit olması kuralını kullanarak cc sabitini hesaplamak.
∫13c(x+1)dx=1  ⟹  c[x22+x]13=1  ⟹  c((92+3)−(12+1))=1  ⟹  c(7.5−1.5)=1  ⟹  6c=1  ⟹  c=16\int_{1}^{3} c(x+1) dx = 1 \implies c \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{3} = 1 \implies c \left( (\frac{9}{2} + 3) - (\frac{1}{2} + 1) \right) = 1 \implies c(7.5 - 1.5) = 1 \implies 6c = 1 \implies c = \frac{1}{6}
Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanım aralığındaki integrali 1 olmalıdır.
2
Bulunan cc değerini fonksiyonda yerine koyup, P(X≤2)P(X \le 2) olasılığını bulmak için 1'den 2'ye kadar integral almak.
∫1216(x+1)dx=16[x22+x]12=16((42+2)−(12+1))=16(4−1.5)=2.56=512\int_{1}^{2} \frac{1}{6}(x+1) dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{2} = \frac{1}{6} \left( (\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + 1) \right) = \frac{1}{6} (4 - 1.5) = \frac{2.5}{6} = \frac{5}{12}
Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralıktaki olasılık, olasılık yoğunluk fonksiyonunun o aralığın alt ve üst sınırlarına göre belirli integrali alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF) ve İntegral ile Olasılık Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu