Sürekli bir X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f(x)… — KPSS İstatistik

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} cx^2, & 0 < x < 3 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $c$ bir sabittir.

Buna göre, $P(1 < X < 2)$ olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

İstenen olasılık değeri

\frac{7}{27}

'dir.

Verilen fonksiyonun bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tüm uzaydaki integralinin

1

olması gerekir.

\int_{0}^{3} cx^2 dx = 1

eşitliği çözüldüğünde

9c = 1

elde edilir ve buradan

c = 1/9

bulunur.

P(1 < X < 2)

olasılığını hesaplamak için bu aralıktaki alan integral ile bulunur:

\int_{1}^{2} \frac{1}{9}x^2 dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{1}{9} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{27}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) tüm tanım aralığındaki integralinin 1'e eşit olması kuralını kullanarak

c

sabitini bulmak.

\int_{0}^{3} cx^2 dx = c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = c \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 9c = 1 \implies c = \frac{1}{9}

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için, eğri altında kalan toplam alanın daima 1 olması gerekir.

Bulunan

c

değerini fonksiyonda yerine yazarak, istenen olasılık bölgesi olan

P(1 < X < 2)

aralığı için integrali kurmak.

P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \frac{1}{9}x^2 dx

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF eğrisinin o sınırlar arasında kalan alanına eşittir.

Belirli integrali hesaplayıp alt ve üst sınırları yerine koyarak nihai sonucu elde etmek.

\frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{9} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{7}{3} \right) = \frac{7}{27}

İntegral kuralları ve sınır değerleri (x=2 ve x=1) kullanılarak alan doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve İntegral Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru