Bir çağrı merkezine gelen ardışık çağrılar arasındaki bekleme süreleri, beklenen değeri \t… — KPSS İstatistik

Bir çağrı merkezine gelen ardışık çağrılar arasındaki bekleme süreleri, beklenen değeri $\theta$ ve varyansı $\theta^2$ olan üstel dağılıma uygun olarak modellenmektedir. Sistem performansını değerlendiren bir analist, $\theta^2$ parametresini tahmin etmek için $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem üzerinden $T_n = (\bar{X})^2$ tahmin edicisini oluşturmuştur.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin $\theta^2$ için yansızlık durumu ve $n \to \infty$ iken asimptotik davranışı aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Beklenen değeri $E(T_n) = \frac{n+1}{n}\theta^2$ olduğundan sonlu örneklemlerde yanlıdır; fakat $n \to \infty$ için limit yan miktarı sıfır olduğundan asimptotik olarak yansızdır.Cevap
B
$E(T_n) = \theta^2$ eşitliğini her $n$ için sağladığından, örneklem çapından bağımsız olarak hem yansız hem de asimptotik yansız bir tahmin edicidir.
C
Tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansızlık şartını sağlayabilmesi için tahmin edicinin varyansının hata kareler ortalamasına (MSE) eşit olması zorunludur.
D
Büyük örneklemlerde varyansı sıfıra yakınsadığı ve tutarlı olduğu için matematiksel olarak doğrudan yansız kabul edilir, yan miktarı hesaplanmaz.
E
$\bar{X}$ yansız bir tahmin edici olsa da, karesi alındığında değişmezlik bozulduğu için $n \to \infty$ durumunda yan miktarı sonsuza ıraksar.

Cevap

Verilen tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında sonlu örneklemlerde yanlı olduğu; ancak örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra ulaştığı, dolayısıyla asimptotik yansız olduğu görülür.

Verilen

T_n = (\bar{X})^2

tahmin edicisinin beklenen değerini bulmak için, örneklem ortalamasının varyansından yararlanılmalıdır. Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değeri, varyansı ile beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir:

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2

. Soruda verilen üstel dağılım için

E(X) = \theta

Var(X) = \theta^2

'dir.

n

çaplı örneklem ortalaması için

E(\bar{X}) = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur. Bu değerler yerine konulduğunda

E(T_n) = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

elde edilir. Görüldüğü gibi tahmin edicinin beklenen değeri

\theta^2

'ye eşit olmadığından sonlu örneklemlerde yanlıdır ve yan miktarı

\frac{\theta^2}{n}

'dir. Ancak örneklem çapı sonsuza giderken limit alındığında (

\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0

) yan miktarı sıfıra yaklaştığı için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicinin beklenen değerini varyans formülü aracılığıyla hesaplama.

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

Beklenen değer doğrusal bir operatördür ancak karesel ifadelerde (

E(Y^2)

), istatistiğin varyansının da hesaba katılması matematiksel bir zorunluluktur.

Tahmin edicinin yan miktarını (bias) formülize etme.

Yan(T_n) = E(T_n) - \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2 - \theta^2 = \frac{\theta^2}{n}

Yan miktarı, tahmin edicinin teorik beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki fark olarak tanımlanır.

Örneklem çapı (

n

) sonsuza giderken yan miktarının limitini alma.

\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0

Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza doğru büyüdükçe tahmin edicinin yan miktarının sıfıra yakınsaması durumudur.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru