Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılıkta Yakınsama

Bir istatistiksel analizde, kitle ortalaması μ\mu (μ≠0\mu \neq 0) ve varyansı σ2\sigma^2 (σ2<∞\sigma^2 < \infty) olan bir dağılımdan nn hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi çekilmiştir. Bu örneklem kullanılarak asimptotik özellikleri incelemek amacıyla aşağıdaki VnV_n istatistiği oluşturulmuştur:

Vn=∑i=1nXi2∑i=1nXiV_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{\sum_{i=1}^{n} X_i}

Buna göre, Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve sürekli dönüşüm teoremi dikkate alındığında, n→∞n \to \infty iken VnV_n istatistiği olasılıkta aşağıdakilerden hangisine yakınsar?

  1. σ2+μ2μ\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}Cevap
  2. B
    μ\mu
  3. C
    σ2μ\frac{\sigma^2}{\mu}
  4. D
    σ2+μ\sigma^2 + \mu
  5. E
    μ2σ2\frac{\mu^2}{\sigma^2}

Cevap

İstatistik olasılıkta σ2+μ2μ\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu} değerine yakınsar.
Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) gereğince, bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklemin k. kuvvetlerinin ortalaması, kitlenin k. momentine olasılıkta yakınsar. Bu soruda pay ve paydayı nn ile böldüğümüzde, pay kısmı ikinci ham momente (E[X2]=σ2+μ2E[X^2] = \sigma^2 + \mu^2), payda kısmı ise birinci momente (E[X]=μE[X] = \mu) olasılıkta yakınsamaktadır. Sürekli dönüşüm teoremi gereği, paydanın limiti sıfırdan farklı (μ≠0\mu \neq 0) olduğu için oranın olasılıkta limiti, limitlerin oranına eşittir. Sonuç σ2+μ2μ\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
VnV_n istatistiğinin pay ve paydasını nn değerine bölerek örneklem ortalamaları formuna getirin.
Vn=1n∑i=1nXi21n∑i=1nXiV_n = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i}
Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nın (WLLN) standart örneklem ortalaması formüllerine uygulanabilmesi için bu düzenleme gereklidir.
2
Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nı paydaki ifadeye uygulayın.
1n∑i=1nXi2→PE[X2]=σ2+μ2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \xrightarrow{P} E[X^2] = \sigma^2 + \mu^2
WLLN'ye göre, karelerin örneklem ortalaması, kitlenin ikinci ham momentine (E[X2]E[X^2]) olasılıkta yakınsar. Varyans formülünden E[X2]=Var(X)+(E[X])2E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 eşitliği kullanılmıştır.
3
Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nı paydadaki ifadeye uygulayın.
1n∑i=1nXi→PE[X]=μ\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} E[X] = \mu
WLLN'ye göre, rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar.
4
Sürekli dönüşüm teoremini (Continuous Mapping Theorem) kullanarak limitlerin oranını hesaplayın.
Vn→Pσ2+μ2μV_n \xrightarrow{P} \frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}
μ≠0\mu \neq 0 koşulu sağlandığından, olasılıkta yakınsayan iki dizinin oranı, bu dizilerin limitlerinin oranına olasılıkta yakınsar.

Anahtar Kavram

Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve Sürekli Dönüşüm Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılıkta Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru