Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOlasılıkta Yakınsama

İstatistiksel limit teoremleri ve rastgele değişken dizilerinin yakınsaması (özellikle olasılıkta yakınsama) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Bir {Xn}\{X_n\} rastgele değişken dizisi bir XX rastgele değişkenine olasılıkta yakınsıyorsa, aynı zamanda dağılımda da yakınsar.
  2. B
    Bir {Xn}\{X_n\} rastgele değişken dizisi bir cc sabitine dağılımda yakınsıyorsa, bu dizi aynı zamanda cc sabitine olasılıkta da yakınsar.
  3. C
    Markov eşitsizliği yalnızca negatif olmayan rastgele değişkenler (X≥0X \ge 0) için geçerli olduğundan, negatif değerler de alabilen rastgele değişkenlerin olasılıkta yakınsamasını incelemek için doğrudan uygulanamaz.
  4. Bir {Xn}\{X_n\} rastgele değişken dizisi bir XX rastgele değişkenine olasılıkta yakınsıyorsa, bu durum her zaman beklenen değerlerin de yakınsadığını gösterir ve lim⁡n→∞E[Xn]=E[X]\lim_{n \to \infty} E[X_n] = E[X] eşitliği istisnasız sağlanır.Cevap
  5. E
    Varyansı sonlu (σ2<∞\sigma^2 < \infty) olan bir kitleye ait örneklem ortalaması Xˉn\bar{X}_n için Var(Xˉn)=σ2nVar(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} eşitliği ve Chebyshev eşitsizliği kullanılarak Zayıf Büyük Sayılar Yasası (Xˉn→pμ\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu) ispatlanabilir.

Cevap

Olasılıkta yakınsamanın beklenen değerde yakınsamayı da istisnasız garanti ettiğini belirten ifade kesinlikle yanlıştır.
Olasılıkta yakınsama (Xn→pXX_n \xrightarrow{p} X), n→∞n \to \infty iken değişkenin limit değerinden sapma olasılığının sıfıra gitmesini ifade eder. Ancak bu, rastgele değişkenin olasılığı çok küçük olsa bile son derece büyük değerler alarak beklenen değerini (ağırlıklı ortalamasını) dramatik biçimde değiştirmesini engellemez. Başka bir deyişle, lim⁡n→∞E[Xn]=E[X]\lim_{n \to \infty} E[X_n] = E[X] olabilmesi için olasılıkta yakınsamaya ek olarak dizinin düzgün integrallenebilir olması (uniform integrability) veya sınırlı yakınsama teoremi (bounded convergence) şartlarını sağlaması gerekir. Dolayısıyla olasılıkta yakınsama her zaman beklenen değerde yakınsamayı garanti etmez, bu nedenle bu ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılıkta ve dağılımda yakınsama hiyerarşisini değerlendir.
Olasılıkta yakınsama her zaman dağılımda yakınsamayı gerektirirken, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı gerektirmesi için limitin rastgele bir değişken değil, sabit bir sayı olması şarttır. Bu hiyerarşi kurallarına göre ilk iki ifade doğrudur.
Yakınsama türleri arasındaki geçişkenlik istatistik teorisinin temelidir.
2
Eşitsizliklerin özelliklerini ve kullanım alanlarını kontrol et.
Markov eşitsizliği yalnızca X≥0X \ge 0 için tanımlıdır. Chebyshev eşitsizliği ise örneklem ortalamasının varyansının nn arttıkça sıfıra gitmesi prensibiyle Xˉn→pμ\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu sonucunu (Zayıf Büyük Sayılar Yasası) ispatlar. Bu eşitsizlik ifadeleri de tamamen doğrudur.
Limit teoremlerinin ispatlarında hangi eşitsizliğin hangi ön şartla kullanıldığı kritik bir bilgidir.
3
Olasılıkta yakınsamanın beklenen değer üzerindeki etkisini incele.
Olasılıkta yakınsama, dizinin limit değerinden büyük sapmalar yapma ihtimalinin n→∞n \to \infty iken sıfıra gitmesidir. Ancak dizi, sıfıra yaklaşan olasılıklarla asimptotik olarak çok büyük değerler alabilir ve bu durum E[Xn]E[X_n] değerini patlatabilir. Beklenen değerin yakınsaması için düzgün integrallenebilirlik (uniform integrability) veya değişkenin sınırlı olması gibi ek koşullar gerekir.
Limiti alma işleminin beklenen değer (integral) içine doğrudan geçebilmesi her zaman mümkün değildir.

Anahtar Kavram

Olasılıkta Yakınsama ve Limit Hiyerarşisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılıkta Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru