Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOlasılıkta Yakınsama

Bir istatistiksel modellemede, bir kitle parametresi olan θ\theta için TnT_n tahmin edici dizisi önerilmiştir. Yapılan asimptotik analizlerde, n→∞n \to \infty iken TnT_n tahmin edicisinin θ\theta parametresine (sabit bir sayıya) dağılımda yakınsadığı (Tn→dθT_n \xrightarrow{d} \theta) kanıtlanmıştır. Öte yandan, farklı bir çalışmada oluşturulan YnY_n dizisinin rastgele bir YY değişkenine olasılıkta yakınsadığı (Yn→pYY_n \xrightarrow{p} Y) gösterilmiştir.

Buna göre, bu dizilerin asimptotik davranışları ve yakınsama türleri dikkate alındığında aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. TnT_n dizisinin limiti olan θ\theta sabit bir sayı olduğu için, istisnai bir kural olarak TnT_n tahmin edicisi aynı θ\theta sabitine olasılıkta da yakınsar.Cevap
  2. B
    Genel asimptotik hiyerarşi kurallarına göre dağılımda yakınsama daima olasılıkta yakınsamayı gerektirdiğinden, limit değerinin sabit veya rastgele değişken olmasının sonucu değiştiren bir önemi yoktur.
  3. C
    YnY_n dizisi olasılıkta yakınsayan bir dizi olmasına rağmen, limit değeri sabit değil rastgele bir değişken olduğu için YY'ye dağılımda yakınsaması garanti edilemez.
  4. D
    Yn→pYY_n \xrightarrow{p} Y yakınsaması sağlandığında, beklenen değerin doğrusallığı koşulsuz olarak geçerli olacağından YnY_n ile YY'nin çarpımının beklenen değeri daima E[Yn⋅Y]=E[Yn]⋅E[Y]E[Y_n \cdot Y] = E[Y_n] \cdot E[Y] şeklinde ayrıştırılır.
  5. E
    TnT_n dizisi asimptotik olarak θ\theta'ya yakınsarken, varyansın özellikleri gereği diziye eklenecek pozitif bir cc sabiti varyansı Var(Tn+c)=Var(Tn)+c2Var(T_n + c) = Var(T_n) + c^2 olarak değiştirir.

Cevap

Limit değerinin sabit bir θ\theta sayısı olması nedeniyle, TnT_n dizisinin dağılımda yakınsadığı değere olasılıkta da yakınsayacağını belirten ifadedir.
İstatistiksel limit teoremlerinde genel kural olarak; olasılıkta yakınsama dağılımda yakınsamayı gerektirir, ancak tersi her zaman doğru değildir. Yani bir dizinin dağılımda yakınsaması genel anlamda olasılıkta da yakınsadığı anlamına gelmez. Ancak bu teorinin çok önemli bir istisnası vardır: Eğer dizi sabit bir sayıya (buradaki gibi θ\theta parametresine) dağılımda yakınsıyorsa, olasılık kitlesi tek bir noktada yoğunlaşacağı için o sabit sayıya olasılıkta da kesinlikle yakınsar.

Adım Adım Çözüm

1
Tn→dθT_n \xrightarrow{d} \theta durumunu inceleyin.
Dizi sabit bir değere dağılımda yakınsamaktadır.
θ\theta bir kitle parametresidir ve rassal değil sabit bir sayıdır.
2
Yakınsama hiyerarşisindeki istisnai kuralı hatırlayın.
Genel olarak dağılımda yakınsama olasılıkta yakınsamayı gerektirmez. Ancak limit rastgele bir değişken değil de sabit bir sayıysa (cc), Xn→dc  ⟹  Xn→pcX_n \xrightarrow{d} c \implies X_n \xrightarrow{p} c kuralı geçerlidir.
Sabit bir limit etrafındaki olasılık yoğunluğu asimptotik olarak tamamen bu noktada toplandığı için iki yakınsama türü bu özel durumda eşdeğer hale gelir.
3
Yn→pYY_n \xrightarrow{p} Y durumunun sonuçlarını değerlendirin.
Olasılıkta yakınsama her zaman dağılımda yakınsamayı (Yn→dYY_n \xrightarrow{d} Y) gerektirir.
Yakınsama hiyerarşisinin temel özelliğidir.
4
Diğer ifadelerdeki kavramsal hataları tespit edin.
Beklenen değer çarpımının bağımsızlık olmadan ayrılamayacağı ve varyansa sabit eklenmesinin varyansı değiştirmeyeceği görülür.
Limit teorileri uygulanırken temel rastgele değişken kuralları geçerliliğini korur.

Anahtar Kavram

Yakınsama Hiyerarşisi ve Sabit Limit İstisnası

Alternatif Yöntem

Yakınsama hiyerarşisini 'Hemen Hemen Kesin   ⟹  \implies Olasılıkta   ⟹  \implies Dağılımda' sıralamasıyla ezberlemek ve tersine gidişlerin sadece 'sabit bir limite' yakınsama koşuluyla gerçekleşebileceğini kodlamak sorunun çözümünü saniyelere indirecektir.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılıkta Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru