Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılıkta Yakınsama

Olasılık teorisinde rastgele değişken dizilerinin asimptotik davranışları incelenirken farklı yakınsama türleri (olasılıkta, dağılımda, hemen hemen kesin vb.) arasındaki hiyerarşik ilişkiler ve temel özellikler büyük önem taşır.

Buna göre, rastgele değişken dizilerinde olasılıkta yakınsama ve ilişkili kavramlar hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Asimptotik hiyerarşi kuralları gereği, herhangi bir dizinin rastgele bir YY hedefine dağılımda yakınsaması, aynı zamanda söz konusu hedefe olasılıkta da yakınsadığını istisnasız olarak gösterir.
  2. B
    Varyansı n→∞n \to \infty iken sıfıra yaklaşan (Var(Xn)→0Var(X_n) \to 0) tüm rastgele değişken dizileri, beklenen değerlerinin ne olduğuna veya nereye yakınsadığına bakılmaksızın her zaman olasılıkta 00 değerine yakınsamak zorundadır.
  3. Hedef limitin rastgele bir değişken değil de bir sabit (cc) olduğu durumlarda, rastgele değişken dizisinin bu sabite dağılımda yakınsaması (Xn→DcX_n \xrightarrow{D} c), dizinin aynı sabite olasılıkta da yakınsadığını (Xn→PcX_n \xrightarrow{P} c) kesin olarak garanti eder.Cevap
  4. D
    Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ispatlanırken, serideki rastgele değişkenlerin varyanslarının tanımsız veya sonsuz olduğu durumlarda da Chebyshev eşitsizliği kullanılarak dizinin ortalamasının olasılıkta yakınsadığı her zaman gösterilebilir.
  5. E
    Sıfır kovaryans koşulunu (E[XnYn]=E[Xn]E[Yn]E[X_n Y_n] = E[X_n]E[Y_n]) sağlayan ancak bağımsız olmayan dizilerin toplamı olan yeni dizi, varyans veya marjinal dağılım koşullarına bakılmaksızın olasılıkta daima sonlu bir değere yakınsar.

Cevap

Hedef limitin bir sabit (cc) olduğu durumlarda, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiğini belirten ifade doğrudur.
Olasılıkta yakınsama, dağılımda yakınsamadan daha güçlü bir asimptotik kavramdır. Normal şartlarda olasılıkta yakınsama dağılımda yakınsamayı gerektirirken tersi geçerli değildir. Ancak hedef limit rastgele bir değişken değil de bir dejenere dağılım (yani cc gibi sabit bir sayı) ise, dizinin dağılım fonksiyonlarındaki eşleşme bizzat noktaya olan olasılıksal yığılmayı kanıtlar. Bu özel durum, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiği yegane teorik istisnadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılıkta ve dağılımda yakınsama arasındaki genel kuralı analiz et.
Olasılıkta yakınsamanın (Xn→PXX_n \xrightarrow{P} X) her zaman dağılımda yakınsamayı (Xn→DXX_n \xrightarrow{D} X) gerektirdiğini, ancak tersinin genel olarak geçerli olmadığını hatırla.
Asimptotik özelliklerin temel teoremi bu tek yönlü ilişkiyi tanımlar.
2
Dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiği özel istisna durumunu değerlendir.
Hedef XX, rastgele bir değişken olmak yerine belirli bir cc sabit değerine (dejenere dağılım) eşitse, kümülatif olasılığın tek bir noktada yığıldığı anlaşılır ve Xn→Dc  ⟺  Xn→PcX_n \xrightarrow{D} c \iff X_n \xrightarrow{P} c denkliği sağlanır.
Sabit hedefler için olasılık fonksiyonunun basamak fonksiyonu halini alması iki yakınsama türünü denkleştirir.
3
Varyans ve Chebyshev eşitsizliği şartları ile ilgili diğer iddiaları kontrol et.
Chebyshev eşitsizliğinin yalnızca sonlu varyans için geçerli olduğu ve varyansın sıfıra gitmesinin diziyi 0'a değil, beklenen değerine yaklaştırdığı gerçeğiyle yanlış ifadeleri tespit et.
Limit teoremlerinin ön şartlarını (sonlu varyans, beklenen değer katsayısı) doğru uygulamak kavramsal hataları önler.

Anahtar Kavram

Olasılıkta ve Dağılımda Yakınsama Hiyerarşisi
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılıkta Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru