Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Skorları

Bir araştırmacı, pp değişkenli bir veri setini merkezcilleştirerek (ortalamalarından arındırarak) kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda özdeğerleri λ1>λ2>⋯>λp\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_p olan pp adet temel bileşen elde edilmiştir.

Elde edilen temel bileşen skorları (değerleri) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Temel bileşen skorlarına ait kovaryans matrisi, köşegen dışı elemanları sıfır ve köşegen elemanları özdeğerlerden (λi\lambda_i) oluşan köşegen (diagonal) bir matristir.Cevap
  2. B
    Her bir temel bileşen skorunun varyansı, ilgili bileşenin verideki toplam varyansı açıklama oranına (yüzdesine) eşittir.
  3. C
    Orijinal değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden çok farklı olması, kovaryans matrisi üzerinden hesaplanan temel bileşen skorlarının yapısını etkilemez.
  4. D
    Temel bileşen skorları hesaplanırken değişkenlerdeki toplam değişkenlik; ortak faktör varyansı ve hata terimi (spesifik varyans) olmak üzere iki ayrı bileşen olarak modellenir.
  5. E
    Veri matrisi ile özvektör matrisinin çarpımıyla skorlar elde edilirken, matris çarpımında değişme özelliği bulunduğu için çarpım sırasının değiştirilmesi sonucu etkilemez.

Cevap

Temel bileşen skorlarının kovaryans matrisinin, köşegen dışı elemanları sıfır ve köşegen elemanları özdeğerlerden oluşan bir köşegen matris olduğunu ifade eden seçenek doğrudur.
Temel bileşenler analizinde elde edilen temel bileşenler birbirine dik (ortogonal) yapıda olduğundan, her bir temel bileşen diğerlerinden tamamen bağımsızdır. Bu sebeple aralarındaki korelasyon ve kovaryans sıfır değerini alır. Dolayısıyla yeni oluşturulan skor matrisinin kovaryans matrisinde köşegen dışı tüm hücreler sıfır olur. Ana köşegen (diagonal) üzerinde ise değişkenlerin (temel bileşenlerin) varyansları yer alır. Temel Bileşenler Analizinin matematiksel formülasyonu gereği, ii-inci temel bileşenin varyansı doğrudan λi\lambda_i özdeğerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Temel bileşen skorlarının geometrik ve istatistiksel özelliklerini hatırlayın.
Temel bileşenler orijinal değişkenlerin doğrusal bileşenleridir ve birbirlerine dik (ortogonal) olacak şekilde yapılandırılırlar.
Ortogonallik özelliği, yeni değişkenlerin (temel bileşenlerin) birbirleriyle ilişkisiz olmasını sağlar.
2
Skorların arasındaki korelasyon/kovaryans durumunu inceleyin.
Temel bileşenler arası ilişkisizlik nedeniyle, skor matrisinin kovaryans matrisindeki köşegen dışı tüm elemanlar (farklı bileşenlerin kovaryansları) sıfır olmalıdır.
Kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında doğrusal bir ilişkinin bulunmadığı anlamına gelir.
3
Skorların varyanslarının matris üzerinde nerede bulunduğunu ve neye eşit olduğunu belirleyin.
Kovaryans matrisinin ana köşegeninde yer alan değerler her bir bileşenin kendi varyansıdır ve TBA'da ii. bileşenin varyansı ii. özdeğere (λi\lambda_i) eşittir.
Matematiksel olarak Var(Yi)=λiVar(Y_i) = \lambda_i eşitliği, TBA optimizasyon probleminin doğrudan bir sonucudur.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Skorlarının Varyans-Kovaryans Matrisi Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Skorları

Bu konudan daha fazla soru