Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Bileşen Skorları

Bir araştırmacı, n=101n=101 gözlem ve p=4p=4 değişkenden oluşan çok değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamış ve analiz sonucunda elde edilen korelasyon matrisinin özdeğerlerini λ1=2.0\lambda_1 = 2.0, λ2=1.0\lambda_2 = 1.0, λ3=0.6\lambda_3 = 0.6 ve λ4=0.4\lambda_4 = 0.4 olarak bulmuştur.

Araştırmacı, standartlaştırılmış veri matrisini kullanarak her bir gözlem için 4 adet temel bileşen skorunu hesaplamıştır. ii. gözlemin jj. temel bileşen skoru yijy_{ij} ile gösterilmektedir (i=1,2,…,101i=1, 2, \dots, 101 ve j=1,2,3,4j=1, 2, 3, 4).

Örneklem varyansı hesaplamalarında paydada (n−1)(n-1) kullanıldığı ve temel bileşen skorlarının ortalamalarının sıfır olduğu bilindiğine göre, veri setindeki tüm gözlemlere ait tüm temel bileşen skorlarının kareleri toplamı olan ∑j=14∑i=1101yij2\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=1}^{101} y_{ij}^2 değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    48
  3. C
    100
  4. 400Cevap
  5. E
    404

Cevap

Tüm temel bileşen skorlarının kareleri toplamı 400'dür.
Temel bileşen analizinde jj. temel bileşene ait skorların varyansı, o bileşenin özdeğerine (λj\lambda_j) eşittir. Veriler standartlaştırılmış olduğu için skorların ortalaması sıfırdır. Dolayısıyla, bir bileşenin örneklem varyansı Var(Yj)=∑i=1nyij2n−1=λjVar(Y_j) = \frac{\sum_{i=1}^n y_{ij}^2}{n-1} = \lambda_j şeklinde ifade edilir. Buradan her bir bileşen için skorların kareleri toplamı ∑i=1nyij2=(n−1)λj\sum_{i=1}^n y_{ij}^2 = (n-1)\lambda_j olur. Tüm bileşenler için bu toplamları topladığımızda, (n−1)∑j=1pλj(n-1)\sum_{j=1}^p \lambda_j elde edilir. Gözlem sayısı n=101n=101 olduğundan n−1=100n-1 = 100'dür. Özdeğerler toplamı ise 2.0+1.0+0.6+0.4=4.02.0 + 1.0 + 0.6 + 0.4 = 4.0 şeklindedir. İki değeri çarptığımızda 100×4.0=400100 \times 4.0 = 400 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Temel bileşen skorlarının varyansı ile özdeğerler arasındaki ilişkiyi belirle.
Var(Yj)=λjVar(Y_j) = \lambda_j
TBA'da, her bir jj. temel bileşen skorunun örneklem varyansı o bileşene ait özdeğere eşittir.
2
Varyans formülünü kareler toplamı cinsinden yaz.
∑i=1n(yij−yˉj)2n−1=λj\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_{ij} - \bar{y}_j)^2}{n-1} = \lambda_j
Örneklem varyansı hesaplamasında paydada (n−1)(n-1) kullanıldığı soruda belirtilmiştir.
3
Temel bileşen skorlarının ortalamasının sıfır olduğunu kullan.
∑i=1nyij2=(n−1)λj\sum_{i=1}^{n} y_{ij}^2 = (n-1) \lambda_j
Skorların ortalaması (yˉj\bar{y}_j) sıfır olduğu için paydaki ifade doğrudan kareler toplamına dönüşür.
4
Tüm bileşenler üzerinden çift toplamı hesapla.
∑j=14∑i=1nyij2=∑j=14(n−1)λj=(n−1)∑j=14λj\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=1}^{n} y_{ij}^2 = \sum_{j=1}^{4} (n-1) \lambda_j = (n-1) \sum_{j=1}^{4} \lambda_j
İstenilen ifade, tüm bileşenler (j=1,…,4j=1, \dots, 4) için gözlemlerin skorlarının kareleri toplamıdır.
5
Sayısal değerleri yerine koy ve sonucu bul.
(101−1)×(2.0+1.0+0.6+0.4)=100×4.0=400(101-1) \times (2.0 + 1.0 + 0.6 + 0.4) = 100 \times 4.0 = 400
n=101n=101 olduğundan n−1=100n-1=100'dür ve özdeğerlerin toplamı (korelasyon matrisinin izi) 4.04.0'dır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Skorlarının Varyans ve Toplam Kareler İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Skorları

Bu konudan daha fazla soru