Bir kimyasal üretim tesisinde, reaktördeki aktif maddenin hedef derişimden sapma miktarı X… — KPSS İstatistik

Bir kimyasal üretim tesisinde, reaktördeki aktif maddenin hedef derişimden sapma miktarı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1 - x^2), & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol standartlarına göre, üründeki toplam tolerans kaybı $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, toplam tolerans kaybını ifade eden $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki tüm fonksiyonların $0 < y < 1$ aralığında tanımlı olduğu varsayılacaktır.)

$\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}$ Cevap
B
$\frac{3(1-y)}{8\sqrt{y}}$
C
$\frac{3}{4}(1-y)$
D
$\frac{3}{4}(1-y^2)$
E
$\frac{3}{2}(1-y)$

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, CDF yöntemi adımları tam ve eksiksiz uygulandığında elde edilen

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

ifadesidir.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde

X

-1

ile

1

arasında değer alan simetrik bir dağılımdır. Birikimli dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak yazılır. Bu ifadenin

y

'ye göre türevi alındığında, zincir kuralı gereği

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}

halini alır. Orijinal PDF olan

f_X(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2)

fonksiyonunda

x

yerine

\pm\sqrt{y}

konulduğunda her iki terim de

\frac{3}{4}(1 - y)

sonucunu verir. Bu ifadeler toplanıp zincir kuralından gelen çarpanla düzenlendiğinde doğru sonuç

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Y

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

X

'in cinsinden ifade etmek.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

elde edilir.

Y = X^2

dönüşümü bire-bir (monoton) olmadığından, her bir

y

değeri

x

'in iki farklı değerine (

\pm \sqrt{y}

) karşılık gelmektedir.

F_Y(y)

fonksiyonunu

X

'in birikimli dağılımı (

F_X

) cinsinden yazmak.

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})

eşitliği kurulur.

Belirli bir aralıktaki olasılık hesabı, o değişkenin üst sınırdaki CDF değerinden alt sınırdaki CDF değerinin çıkarılmasıyla bulunur.

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alarak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak.

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(-\sqrt{y}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y}) \right]

. Verilen

f_X(x)

yerine yazıldığında;

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{3}{4}(1 - y) + \frac{3}{4}(1 - y) \right] = \frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

bulunur.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), o değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) türevi alınarak elde edilir. Burada zincir kuralı (içinin türevi) uygulanması kritik adımdır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Monoton Olmayan Dönüşümler

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular