Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen müşteri şikayetleri sayısı, ortalamas… — KPSS İstatistik

Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen müşteri şikayetleri sayısı, ortalaması $\lambda$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu çağrı merkezinden rastgele seçilen $3$ farklı gündeki şikayet sayıları $X_1, X_2$ ve $X_3$ olmak üzere, $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3}{6}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin Cramer-Rao alt sınırına göre mutlak etkinliği ile $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$1$ ve $\frac{7}{6}$ Cevap
B
$1$ ve $\frac{6}{7}$
C
$3$ ve $\frac{7}{6}$
D
$\frac{6}{7}$ ve $\frac{7}{6}$
E
$1$ ve $\frac{1}{2}$

Cevap

Mutlak Etkinlik

1

ve Göreli Etkinlik

\frac{7}{6}

olan seçenektir.

Poisson dağılımında

\lambda

parametresi için Cramer-Rao alt sınırı

CRLB = \frac{\lambda}{n} = \frac{\lambda}{3}

olarak bulunur.

T_1

örneklem ortalaması olduğundan varyansı da

\frac{\lambda}{3}

'tür. Bu durumda

T_1

'in mutlak etkinliği

e(T_1) = \frac{CRLB}{Var(T_1)} = 1

olur. Diğer yandan

T_2

'nin varyansı katsayıların kareleri dikkate alınarak

Var(T_2) = \frac{1}{36}(1^2\lambda + 2^2\lambda + 3^2\lambda) = \frac{14\lambda}{36} = \frac{7\lambda}{18}

olarak hesaplanır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliği, soruda verilen

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}

formülüne göre

\frac{7\lambda/18}{\lambda/3} = \frac{7}{6}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Poisson dağılımı için Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) hesaplama

I_n(\lambda) = \frac{3}{\lambda}

CRLB = \frac{\lambda}{3}

T_1

'in mutlak etkinliğini bulabilmek için Fisher bilgi matrisi ve CRLB'ye ihtiyaç vardır.

T_1

tahmin edicisinin varyansını ve mutlak etkinliğini belirleme

Var(T_1) = \frac{\lambda}{3}

ve Mutlak Etkinlik

e(T_1) = 1

Örneklem ortalamasının varyansı popülasyon varyansının

n

'e bölümüdür. Mutlak etkinlik

CRLB / Var(T_1)

ile bulunur.

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_2) = \frac{1}{36}(Var(X_1) + 4Var(X_2) + 9Var(X_3)) = \frac{14\lambda}{36} = \frac{7\lambda}{18}

Doğrusal kombinasyonların varyansı bulunurken bağımsız değişken katsayılarının karesi alınır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini oranlama

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{7\lambda/18}{\lambda/3} = \frac{7}{6}

Soruda formülü verilen göreli etkinlik tanımı gereği

T_2

'nin varyansı

T_1

'in varyansına bölünür.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Mutlak Etkinlik ve Göreli Etkinlik

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru