Examkin

Soru

Zorluk: KolayÇok Değişkenli Normal Dağılım

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir X=(X1,X2,…,Xp)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_p)^T rastgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi (Σ\boldsymbol{\Sigma}) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. Matris simetriktir ve yarı-pozitif tanımlıdır.Cevap
  2. B
    Matrisin tüm elemanları pozitif değerlidir.
  3. C
    Matrisin köşegen elemanları standart sapma değerlerini verir.
  4. D
    Matris her zaman tersi alınabilir (pozitif tanımlı) bir matristir.
  5. E
    Matrisin köşegen dışı elemanları korelasyon katsayılarına eşittir.

Cevap

Varyans-kovaryans matrisi simetriktir ve yarı-pozitif tanımlıdır.
Çok değişkenli normal dağılımda varyans-kovaryans matrisi, değişkenlerin kendi varyanslarını ve aralarındaki kovaryansları içeren kare bir matristir. Bu matris, kovaryansın tanımı gereği simetriktir ve istatistiksel tutarlılık için (varyansın negatif çıkmaması adına) her zaman yarı-pozitif tanımlı olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans-kovaryans matrisinin simetri özelliğini değerlendir.
σij=Cov(Xi,Xj)\sigma_{ij} = Cov(X_i, X_j) ve σji=Cov(Xj,Xi)\sigma_{ji} = Cov(X_j, X_i) olduğundan σij=σji\sigma_{ij} = \sigma_{ji}'dir.
Kovaryans işleminin değişme özelliği matrisin devriğine eşit olmasını (simetriyi) sağlar.
2
Matrisin tanımlılık özelliğini kontrol et.
Herhangi bir sabit a\mathbf{a} vektörü için Var(aTX)=aTΣa≥0Var(\mathbf{a}^T\mathbf{X}) = \mathbf{a}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} \geq 0 olmalıdır.
Varyans değeri hiçbir zaman negatif olamaz, bu da karesel formun sonucunun sıfır veya daha büyük olmasını gerektirir (yarı-pozitif tanımlılık).

Anahtar Kavram

Varyans-Kovaryans Matrisinin Özellikleri

İpuçları

1
Kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının neyi temsil ettiğini hatırlayın.
2
Kovaryansın negatif olup olamayacağını ve matrisin simetrik yapısını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Varyans-kovaryans matrisi birim matris olduğunda değişkenlerin bağımsızlığı hakkında ne söylenebilir?
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım