Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Çok değişkenli olasılık dağılımlarında, iki sürekli rastgele değişkenin ( $X$ ve $Y$ ) birbirlerinden bağımsız olup olmadığının incelenmesi hem analitik hem de kavramsal düzeyde değerlendirilir. Bir çalışmada, $(X, Y)$ vektörünün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ ve bu fonksiyonun pozitif değerler aldığı destek kümesi $S$ tanımlanmıştır.

Bu değişkenlerin bağımsızlık durumu ve istatistiksel özellikleri göz önüne alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi istisnasız olarak doğrudur?

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

y

'nin tüm tanımlı olduğu değerler üzerinden integrali (

\int f(x,y) dy

), her zaman

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) üretir.

Eğer

S

destek kümesi,

x

ve

y

sınırlarının birbirine bağlı olduğu (kartezyen çarpım şeklinde ifade edilemeyen) bir bölge ise,

f(x,y)

fonksiyonunun formundan bağımsız olarak

X

ve

Y

bağımlı değişkenlerdir.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır (

\text{Cov}(X,Y) = 0

) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır ve aralarında hiçbir ilişki yoktur.

İki rastgele değişkenin bağımsız olması, bu değişkenlerin tanımlandığı temel olayların matematiksel olarak ayrık (kesişimlerinin boş küme) olması ile tamamen aynı anlama gelir.

X

ve

Y

bağımlı rastgele değişkenler olsalar dahi, koşullu beklenen değer

E[X|Y=y]

her zaman

y

'nin aldığı değerden bağımsız sabit bir sayısal değere eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eğer $S$ destek kümesi, $x$ ve $y$ sınırlarının birbirine bağlı olduğu (kartezyen çarpım şeklinde ifade edilemeyen) bir bölge ise, $f(x,y)$ fonksiyonunun formundan bağımsız olarak $X$ ve $Y$ bağımlı değişkenlerdir.

Cevap

Doğru ifade, destek kümesinin sınırlarının birbirine bağlı olması durumunda (kartezyen çarpım şeklinde yazılamayan bölgeler) değişkenlerin kesinlikle bağımlı olacağını belirten seçenektir.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel iki koşul vardır: Birincisi

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliği, ikincisi ise bu fonksiyonun tanımlı olduğu

S

bölgesinin sınırlarının birbirine bağlı olmamasıdır (örneğin

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

gibi). Eğer bir değişkenin sınırları diğerine bağlıysa (örneğin

0 < y < x

), alan kartezyen çarpım şeklinde ifade edilemez ve değişkenler, yoğunluk fonksiyonlarının matematiksel formundan bağımsız olarak birbirine bağımlı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlık şartlarını analitik olarak incele.

Bağımsızlık için hem

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin sağlanması hem de tanımlı olunan

S

kümesinin kartezyen çarpım (

A \times B

) formatında olması gerektiği belirlenir.

Destek kümesindeki bir değişkenin sınırları diğer değişkene bağlıysa (örneğin üçgensel bölge), marjinal dağılımların sınırları bağımsız olarak belirlenemez.

2

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisinin istisnalarını değerlendir.

Kovaryansın sıfır olmasının sadece doğrusal ilişki yokluğunu ifade ettiği, genel bir bağımsızlık kanıtı olmadığı tespit edilir.

Öğrencilerin sıklıkla düştüğü hata olan 'Sıfır kovaryans bağımsızlığı gerektirir' yargısı sadece çok değişkenli normal dağılımda geçerlidir.

3

Marjinal olasılık fonksiyonlarının integral kurallarını doğrula.

Ortak PDF'in

y

'ye göre integralinin

f_X(x)

'i vereceği hatırlanır.

Hangi değişkene göre integral alınıyorsa o değişken yok edilir, geriye diğer değişken kalır.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlık için destek kümesi geometrisinin (kartezyen çarpım) zorunluluğu

Soru 2Soru →

Bir kamu fabrikasında üretilen özel donanım parçalarının kalite kontrol testlerinde, parçaların %60'ının "kusursuz", %30'unun "kabul edilebilir hafif kusurlu" ve %10'unun "kullanılamaz hurda" olarak sınıflandırıldığı tespit edilmiştir. Bu üretim hattından rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 50 adet parça seçilmiştir.

Seçilen örneklemdeki kusursuz parça sayısı $X_1$ ve kabul edilebilir hafif kusurlu parça sayısı $X_2$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, $X_1$ ile $X_2$ arasındaki kovaryans değeri $Cov(X_1, X_2)$ ve $X_1 + X_2$ toplamının varyansı $Var(X_1 + X_2)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

-9

ve

4,5

-9

ve

13,5

-9

ve

22,5

0

ve

22,5

9

ve

40,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-9$ ve $4,5$

Cevap

İlgili değerler sırasıyla

-9

ve

4,5

'tir.

Doğru yanıt, kovaryansın yapısal olarak negatif olduğunu (

-np_ip_j

) gösteren formül ile doğru hesaplandığı ve toplam varyansın bağımlılık gözetilerek formüle uygun olarak bulunduğu seçenektir. Formüller uygulandığında

Cov = -9

ve

Var = 4,5

sonuçlarına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım tipini ve parametrelerini belirleyin.

Deney

n=50

kez tekrarlanmıştır ve 3 ayrık sonuç (kusursuz, hafif kusurlu, hurda) vardır. Bu bir Multinomiyal dağılımdır. Olasılıklar

p_1 = 0,60

,

p_2 = 0,30

ve

p_3 = 0,10

'dur.

Değişkenlerin dağılım özelliklerini bilmek, uygun kovaryans ve varyans formüllerini seçmek için temel adımdır.

2

Kusursuz parça sayısı (

X_1

) ile hafif kusurlu parça sayısı (

X_2

) arasındaki kovaryansı hesaplayın.

Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2 = -50 \cdot 0,60 \cdot 0,30 = -50 \cdot 0,18 = -9

Multinomiyal dağılımda, toplam

n

sabit olduğu için bir kategorideki artış diğer kategorilerde azalışa neden olur. Bu nedenle iki farklı kategori arasındaki kovaryans her zaman negatiftir ve formülü

-n \cdot p_i \cdot p_j

'dir.

3

X_1 + X_2

toplamının varyansını, özelliklerini kullanarak veya doğrudan Binom dağılımı üzerinden hesaplayın.

Birinci yöntem:

Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) + 2Cov(X_1, X_2)

. Marjinal varyanslar

Var(X_1) = 50 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 12

ve

Var(X_2) = 50 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 10,5

'tir. Yerine koyduğumuzda:

12 + 10,5 + 2(-9) = 22,5 - 18 = 4,5

bulunur.
İkinci (pratik) yöntem:

X_1+X_2

toplamı 'hurda olmayan parçaları' temsil eder. Bu toplamın dağılımı Binom'dur ve

p = 0,6 + 0,3 = 0,9

'dur.

Var(X_1+X_2) = n \cdot p \cdot (1-p) = 50 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 4,5

.

Doğrusal kombinasyonların varyansını hesaplarken, değişkenlerin bağımlı (kovaryansın sıfırdan farklı) olup olmadığına dikkat edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal dağılımda marjinal varyanslar, kategoriler arası kovaryans ve bağımlı değişkenlerin doğrusal kombinasyonlarının varyansı

Soru 3Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ ile verilmiştir.

Buna göre, bu rastgele değişkenlerin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır (

Cov(X,Y) = 0

) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y) = 8xy

ve tanım kümesi

0 < x < y < 1

olarak verilen

X

ve

Y

değişkenleri, fonksiyon formülü

x

ve

y

'nin çarpanlarına ayrılabildiği için bağımsızdır.

X

ve

Y

bağımsız rastgele değişkenler ise, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamına eşittir (

f(x,y) = f_X(x) + f_Y(y)

).

X

ve

Y

bağımsız sürekli rastgele değişkenler ise, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğu tanım bölgesi, değişkenlerin marjinal tanım aralıklarının kartezyen çarpımı (dikdörtgensel bir bölge) olmak zorundadır.

X

ve

Y

bağımsız değişkenler olduğunda, bu değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, beklenen değerlerinin toplamına eşittir (

E[XY] = E[X] + E[Y]

).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenler ise, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğu tanım bölgesi, değişkenlerin marjinal tanım aralıklarının kartezyen çarpımı (dikdörtgensel bir bölge) olmak zorundadır.

Cevap

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım bölgesi, değişkenlerin marjinal tanım aralıklarının kartezyen çarpımı (dikdörtgensel bir bölge) olmak zorundadır.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olması için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarının

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğini sağlaması gerekir. Bu eşitliğin anlamlı ve tutarlı olabilmesi için

X

'in alabileceği değer aralığının

Y

'den,

Y

'nin alabileceği değer aralığının da

X

'ten etkilenmemesi şarttır. Bu istatistiksel gereklilik, geometrik düzlemde temsil edildiğinde, her iki değişkenin tanımlı olduğu destek kümesinin, sınırları eksenlere tam paralel olan bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturmasını zorunlu kılar.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlık şartını ve bu şartın tanım kümesi (destek bölgesi) üzerindeki matematiksel etkisini analiz etmek.

Bağımsızlık şartı olan

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin sağlanabilmesi için,

x

'in sınır değerlerinin

y

'den,

y

'nin sınır değerlerinin de

x

'ten bağımsız olması gerektiği sonucuna varılır.

Bir değişkenin aldığı değer, diğerinin alabileceği değer aralığını daraltıyor veya değiştiriyorsa (örneğin

x < y

gibi), bu iki değişken istatistiksel olarak birbirine bağımlıdır.

2

Tanım sınırlarının birbirinden bağımsız olmasının geometrik karşılığını belirlemek.

a \leq x \leq b

ve

c \leq y \leq d

şeklindeki bağımsız sınırların, analitik düzlemde her zaman kenarları

x

ve

y

eksenlerine paralel olan bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturduğu tespit edilir.

Geometrik olarak destek kümesinin dikdörtgen dışında bir şekil (üçgen, daire vb.) olması, değişkenlerin birbirini sınırladığını ve dolayısıyla bağımlı olduklarını kanıtlar.

3

Diğer ifadelerdeki yaygın kavram yanılgılarını (kovaryansın sıfır olması, fonksiyonun sadece çarpanlarına ayrılması, toplam ve çarpım kurallarının karıştırılması) elemek.

Sıfır kovaryansın bağımsızlığı garanti etmediği, fonksiyon formülünün çarpanlarına ayrılmasının değişken sınırlarını (örneğin

x < y

) yok saymaya yetmeyeceği ve beklenen değer/olasılık işlemlerinde çarpım kurallarının kullanılması gerektiği doğrulanarak hatalı seçenekler elenir.

Olasılık teorisindeki özel teoremlerin ön koşullarını ve tanımlarını (kovaryans-bağımsızlık ilişkisi, beklenen değer doğrusallığı) tam ve eksiksiz uygulamak doğru cevaba ulaşmayı sağlar.

Anahtar Kavram

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunda Tanım Kümesinin (Destek Bölgesi) Bağımsızlık Üzerindeki Etkisi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine gelen çağrılar; "Bilgi Alma" ( $X_1$ ), "Şikayet" ( $X_2$ ) ve "Teknik Destek" ( $X_3$ ) olmak üzere üç farklı kategoriye ayrılmaktadır. Geçmiş verilere göre, rastgele seçilen bir çağrının bu kategorilere ait olma olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0.50$ , $p_2 = 0.30$ ve $p_3 = 0.20$ 'dir.

Belirli bir gün içinde çağrı merkezine birbirinden bağımsız toplam $n = 100$ çağrı geldiği varsayılmaktadır.

Buna göre, gelen çağrılar arasındaki şikayet sayısı ( $X_2$ ) ile teknik destek sayısı ( $X_3$ ) arasındaki ortak varyans (kovaryans), yani $Cov(X_2, X_3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-21

0

-6

6

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6

Multinomiyal dağılımda, toplam deneme sayısı (

n

) sabit olduğunda alt kategoriler birbirine bağımlıdır. Bir kategorideki frekansın artması, zorunlu olarak diğer kategorilerde azalmaya yol açar. Bu nedenle kategoriler arası kovaryans daima negatiftir ve

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

formülü ile bulunur. Verilen senaryoda

n = 100

, şikayet olasılığı

p_2 = 0.30

ve teknik destek olasılığı

p_3 = 0.20

'dir. Değerler yerine konduğunda

-100 \cdot 0.30 \cdot 0.20 = -6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Multinomiyal dağılımda iki değişken arasındaki kovaryans formülünü belirleme.

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

Sabit bir

n

değeri için alt kategorilerin olasılıkları belirli olduğunda, kategoriler arası bağımlılık bu formülle ölçülür.

2

Soru metnindeki ilgili parametreleri çıkarma.

n = 100

,

p_2 = 0.30

,

p_3 = 0.20

Formülü uygulayabilmek için toplam deneme sayısı ve ilgili iki kategorinin olasılıklarına ihtiyaç vardır.

3

Değerleri formülde yerine yazarak sonucu hesaplama.

Cov(X_2, X_3) = -100 \cdot 0.30 \cdot 0.20 = -6

Değişkenler arasındaki ters yönlü doğrusal ilişkinin (biri artarken diğerinin azalma eğilimi) miktarını bulmak içindir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans ve Bağımlılık

Soru 5Soru →

Bir pazar araştırması şirketi, tüketicilerin belirli bir elektronik ürünü satın alma tercihlerini dört farklı kategoride incelemektedir. Bu kategoriler ve rastgele seçilen bir tüketicinin bu kategorileri tercih etme olasılıkları şu şekildedir:

- Çevrimiçi mağaza ( $X_1$ ): $p_1 = 0,4$
- Fiziksel mağaza ( $X_2$ ): $p_2 = 0,3$
- Telefonla sipariş ( $X_3$ ): $p_3 = 0,2$
- Hiçbiri (Alışveriş yapmama) ( $X_4$ ): $p_4 = 0,1$

Araştırma kapsamında rastgele seçilen 50 tüketici incelenmiştir. Çevrimiçi mağaza ile fiziksel mağazayı tercih edenlerin sayısındaki fark $Y = X_1 - X_2$ ve fiziksel mağaza ile telefonla siparişi tercih edenlerin toplam sayısı $Z = X_2 + X_3$ olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, $Y$ ve $Z$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değeri, $Cov(Y, Z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

-22,0

-17,5

-10,5

-3,5

-2,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-17,5$

Cevap

İki yeni rastgele değişkenin arasındaki kovaryans değeri

-17,5

'tir.

Doğru değer, multinomiyal dağılımda varyans ve kovaryans formüllerinin lineer kombinasyonlara eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3)

şeklinde açılır. Multinomiyal dağılımda

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

ve

i \neq j

için

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

eşitlikleri geçerlidir. Formüldeki ilgili değerler yerine konulduğunda;

Cov(Y,Z) = -6 - 4 - 10,5 - (-3) = -17,5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Cov(Y, Z) = Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3)

ifadesini kovaryansın lineerlik özelliğini kullanarak bileşenlerine ayırmak.

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Cov(X_2, X_2) - Cov(X_2, X_3)

elde edilir.

Birleşik rastgele değişkenlerin kovaryansını hesaplayabilmek için ifadeyi temel değişkenlerin varyans ve kovaryanslarına indirgemek gerekir.

2

Cov(X_2, X_2)

ifadesinin

Var(X_2)

olduğunu belirterek denklemi son haline getirmek.

İfade

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3)

halini alır.

Bir değişkenin kendisiyle olan kovaryansı kendi varyansına eşittir.

3

Multinomiyal dağılımın parametrelerini (

n=50

,

p_1=0,4

,

p_2=0,3

,

p_3=0,2

) kullanarak ilgili temel varyans ve kovaryans değerlerini hesaplamak.

Var(X_2) = n p_2 (1-p_2) = 50 \times 0,3 \times 0,7 = 10,5

Cov(X_1, X_2) = -n p_1 p_2 = -50 \times 0,4 \times 0,3 = -6

Cov(X_1, X_3) = -n p_1 p_3 = -50 \times 0,4 \times 0,2 = -4

Cov(X_2, X_3) = -n p_2 p_3 = -50 \times 0,3 \times 0,2 = -3

Açılımda yer alan her bir terimin sayısal değerini bulmak zorunludur.

4

Hesaplanan değerleri açılım formülünde yerine koyarak sonuca ulaşmak.

Cov(Y, Z) = (-6) + (-4) - (10,5) - (-3) = -10 - 10,5 + 3 = -17,5

Bileşen değerlerinin cebirsel toplamı, istenilen asıl kovaryans değerini verir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Marjinal Varyans ve Kovaryanslar

Soru 6Soru →

Bir bölgedeki iki farklı yatırım aracının yıllık getiri oranları (yüzde cinsinden ölçeklendirilmiş), sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, \ y > 0, \ x+y \le 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Yatırım uzmanları, bu iki yatırımın toplam getirisini $U = X + Y$ ve $X$ yatırımının toplam getiri içindeki payını $V = \frac{X}{X+Y}$ yeni rastgele değişkenleri ile analiz etmektedir.

Buna göre, $X$ yatırımının toplam getiri içindeki payını ifade eden $V$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_V(v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_V(v) = 8v(1-v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 4v^3, \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 6v(1-v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 12v(1-v), \quad 0 < v < 1

f_V(v) = 6v^5(1-v), \quad 0 < v < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_V(v) = 6v(1-v), \quad 0 < v < 1$

Cevap

V değişkeninin doğru marjinal yoğunluk fonksiyonu

f_V(v) = 6v(1-v), \ 0 < v < 1

şeklindedir.

V'nin marjinal yoğunluk fonksiyonu, U ve V'nin ortak yoğunluk fonksiyonunun U'nun tanım aralığı üzerinden integre edilmesiyle bulunur. X=UV ve Y=U(1-V) dönüşümünün Jakobiyen mutlak değeri |J|=u'dur. Ortak yoğunluk f(u,v) = 24 * (uv) * (u(1-v)) * u = 24u^3v(1-v) olarak hesaplanır. U değişkeni 0 ile 1 aralığında tanımlı olduğundan, f_V(v) = ∫(0'dan 1'e) 24u^3v(1-v) du = 6v(1-v) formülü ile doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm fonksiyonlarının (

x

ve

y

'nin

u

ve

v

cinsinden) bulunması.

U = X + Y

ve

V = \frac{X}{X+Y}

eşitliklerinden

X = UV

ve

Y = U(1-V)

elde edilir.

Jakobiyen determinantını hesaplayabilmek ve ortak yoğunluk fonksiyonunda değişken değiştirebilmek için gereklidir.

2

Jakobiyen matrisinin ve determinantının mutlak değerinin (

|J|

) hesaplanması.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 1-v & -u \end{pmatrix} = -uv - u(1-v) = -u

bulunur.

u = x+y > 0

olduğundan

|J| = u

olur.

Dönüşüm sonrasında alan elementlerinin (olasılık kütlesinin) nasıl ölçeklendiğini belirlemek için Jakobiyen çarpanı zorunludur.

3

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{U,V}(u,v)

) ve yeni tanım aralığının bulunması.

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, u(1-v)) \cdot |J| = 24(uv)(u(1-v)) \cdot u = 24u^3 v(1-v)

elde edilir. Sınırlar

x+y \le 1

ve

x,y>0

koşullarından

0 < u \le 1

ve

0 < v < 1

olarak haritalanır.

Marjinal yoğunluğu bulmak için öncelikle yeni değişkenlerin ortak dağılımına ihtiyaç vardır.

4

V

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_V(v)

) elde edilmesi için

u

üzerinden integral alınması.

f_V(v) = \int_{0}^{1} 24u^3 v(1-v) du = 24v(1-v) \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = 6v(1-v)

bulunur.

Sadece

V

değişkeninin dağılımını elde etmek için, ortak dağılım fonksiyonu diğer değişkenin (

u

) tüm tanım aralığı üzerinden integre edilmelidir.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 7Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{3}(x+2y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $U=3X$ ve $V=2Y$ değişken dönüşümü yapıldığında elde edilen $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki seçeneklerde sadece fonksiyonun tanımlı ve 0'dan farklı olduğu bölgeler verilmiştir.)

g(u,v) = \frac{2u+6v}{9}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

g(u,v) = \frac{4u+12v}{3}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1

g(u,v) = \frac{u+2v}{9}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2$

Cevap

g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

Doğru yanıtı elde etmek için

U=3X

ve

V=2Y

dönüşümlerinin tersi (

x = u/3

,

y = v/2

)

f(x,y)

fonksiyonunda yerine yazılır. Ardından, diferansiyel alandaki değişim için Jakobiyen matrisinin determinantı

J = (1/3)(1/2) - (0)(0) = 1/6

bulunur. Son olarak eski sınırlar olan

0<x<1

ve

0<y<1

yeni değişkenler için çözülerek destek kümesi

0<u<3

ve

0<v<2

olarak elde edilir.

g(u,v) = f(u/3, v/2) \cdot |J|

kuralı uygulandığında

\frac{u+3v}{27}

formülü ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm denklemlerinden

x

ve

y

değişkenlerini yalnız bırakmak.

x = \frac{u}{3}

ve

y = \frac{v}{2}

ters dönüşümleri elde edilir.

Orijinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda (

f(x,y)

) yerine koyulacak ifadeleri bulmak için.

2

Jakobiyen determinantını hesaplamak.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Dönüşüm sonrasında hacimsel/alansal ölçeklenmeyi formüle dâhil edebilmek için.

3

Elde edilen ters dönüşümleri fonksiyonun içine yerleştirip mutlak Jakobiyen ile çarpmak.

g(u,v) = f\left(\frac{u}{3}, \frac{v}{2}\right) \cdot |J| = \frac{2}{3}\left(\frac{u}{3} + 2\left(\frac{v}{2}\right)\right) \cdot \left|\frac{1}{6}\right| = \frac{2}{3}\left(\frac{u}{3} + v\right) \cdot \frac{1}{6} = \frac{u+3v}{27}

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuralını elde etmek için.

4

x

ve

y

için verilen tanım aralığını

u

ve

v

için güncellemek.

0 < x < 1 \implies 0 < \frac{u}{3} < 1 \implies 0 < u < 3

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{v}{2} < 1 \implies 0 < v < 2

Dönüşen rastgele değişkenlerin olasılıklarının geçerli olduğu yeni destek kümesini (sınırları) belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen Yöntemi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 2x, & 0 < y < 1 \text{ ve } y < x < 2y \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_X(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_X(x) = \begin{cases} x^2, & 0 < x \le 1 \\ 2x - x^2, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_X(x) = \begin{cases} x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_X(x) = \begin{cases} 2x - x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_X(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_X(x) = \begin{cases} 2x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_X(x) = \begin{cases} x^2, & 0 < x \le 1 \\ 2x - x^2, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Doğru cevap, bölgenin

x=1

noktasında iki parçaya ayrıldığı ve her parça için ayrı integral sınırlarının uygulandığı parçalı fonksiyondur:

0 < x \le 1

için

x^2

,

1 < x < 2

için

2x - x^2

.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinalini elde etmek için

y

'ye göre integral alınmalıdır.

y < x < 2y

ve

0 < y < 1

eşitsizlikleri birleştirildiğinde

y

'nin sınırları

x/2 < y < \min(1, x)

olur.

x

,

0

ile

2

arasında değer alabilir.

x=1

noktasında

\min(1, x)

ifadesi değiştiğinden fonksiyon iki parçada incelenir:

0 < x \le 1

için integral sınırları

x/2

'den

x

'e,

1 < x < 2

için ise

x/2

'den

1

'edir. Her iki integral doğru hesaplandığında doğru cevaptaki parçalı fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

f(x,y)

fonksiyonunun

y

'ye göre integrali alınmalıdır.

f_X(x) = \int f(x,y) dy

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılım fonksiyonunun diğer değişken üzerinden tüm tanım aralığı boyunca entegre edilmesiyle bulunur.

2

Verilen eşitsizliklerden

y

'nin

x

'e bağlı sınırlarını belirleyin.

y < x < 2y \implies y < x

ve

x/2 < y

. Ayrıca

0 < y < 1

verilmiştir. Dolayısıyla

y

'nin aralığı:

\max(0, x/2) < y < \min(1, x)

olur.

İntegral sınırlarını doğru yazabilmek için tüm eşitsizlik kısıtlarının kesişim kümesini bulmak şarttır.

3

X

'in tanım kümesini tespit edin ve integrali iki parçaya bölün.

x

,

y

'nin uç değerlerine göre

(0, 2)

aralığında değer alır.

x \le 1

için

\min(1,x)=x

ve

x > 1

için

\min(1,x)=1

'dir.

y

'nin üst sınırı

x=1

noktasında karakter değiştirmektedir. Bu nedenle integral parçalı olarak ele alınmalıdır.

4

0 < x \le 1

durumu için integrali hesaplayın.

f_X(x) = \int_{x/2}^{x} 2x \, dy = 2x[y]_{x/2}^{x} = 2x(x - \frac{x}{2}) = 2x(\frac{x}{2}) = x^2

Bu bölgede

y

'nin alt sınırı

x/2

, üst sınırı

x

'tir.

5

1 < x < 2

durumu için integrali hesaplayın.

f_X(x) = \int_{x/2}^{1} 2x \, dy = 2x[y]_{x/2}^{1} = 2x(1 - \frac{x}{2}) = 2x - x^2

Bu bölgede

y

'nin alt sınırı

x/2

, üst sınırı ise

1

'dir.

Anahtar Kavram

Bağımlı Sınırlara Sahip Ortak Dağılımlarda Marjinalizasyon

Soru 9Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} c \left(x^2 + \frac{y}{2}\right), & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $P(X + Y > 1)$ olasılığı kaçtır?

\frac{17}{24}

\frac{7}{24}

\frac{13}{48}

\frac{17}{32}

\frac{7}{16}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{24}$

Cevap

İstenilen olasılık değeri

\frac{17}{24}

'tür.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olabilmesi için tüm alandaki integralinin 1 olması gerekir.

0 < x < y < 1

üçgen bölgesi üzerinden integral alındığında

c=4

bulunur. Bizden istenen

P(X+Y > 1)

bölgesidir. Bu bölge sınır koşulları nedeniyle parçalı bir integral gerektirir. Tümleyen yöntemi kullanılarak

P(X+Y \leq 1)

integrali hesaplanırsa sınırlar

0 < x < 0.5

ve

x < y < 1-x

olur. Bu integralin sonucu

\frac{7}{24}

çıkar. Tamamı 1 olduğu için aranan olasılık

1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam alanını 1'e eşitleyerek c sabitini bulma.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} c \left(x^2 + \frac{y}{2}\right) dx dy = 1 \implies c = 4

bulunur.

Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm bölgedeki integrali 1 olmalıdır. Sınırlar

0 < x < y

şartından gelir.

2

İstenen olasılık için bölgeyi belirleme ve hesaplama stratejisi seçme.

P(X+Y > 1)

bölgesini doğrudan hesaplamak iki ayrı integral gerektirir. Bunun yerine tümleyen bölge olan

P(X+Y \leq 1)

hesaplanıp 1'den çıkarılabilir.

x+y \leq 1

ve

x < y

şartları kesiştiğinde, entegrasyon bölgesi

0 < x < 0.5

ve

x < y < 1-x

olarak tek bir çift katlı integral ile ifade edilebilir.

3

Tümleyen olasılık için integrali kurma ve iç integrali hesaplama.

\int_{0}^{0.5} \int_{x}^{1-x} 4 \left(x^2 + \frac{y}{2}\right) dy dx

. İç integral y'ye göre alınırsa:

4 \left[x^2y + \frac{y^2}{4}\right]_x^{1-x} = -8x^3 + 4x^2 - 2x + 1

elde edilir.

Belirlenen sınırlar altında y değişkenine göre kısmi integrasyon işlemi uygulanmıştır.

4

Dış integrali x'e göre hesaplayarak tümleyen olasılığı bulma.

\int_{0}^{0.5} (-8x^3 + 4x^2 - 2x + 1) dx = \left[-2x^4 + \frac{4x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^{0.5} = \frac{7}{24}

bulunur.

Ortak PDF'in istenmeyen bölgedeki toplam hacmi hesaplanmıştır.

5

İstenen olasılığı bulmak için sonucu 1'den çıkarma.

P(X+Y > 1) = 1 - P(X+Y \leq 1) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}

Tüm olasılıkların toplamı 1'dir. İstenen bölge, hesaplanan bölgenin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda ortak yoğunluk fonksiyonundan bölge olasılığı hesabı

Alternatif Yöntem

Tümleyen yerine istenilen olasılık bölgesi doğrudan da hesaplanabilir. Bölge ikiye ayrılır:

\int_{0}^{0.5} \int_{1-x}^{1} 4(x^2 + \frac{y}{2}) dy dx

ve

\int_{0.5}^{1} \int_{x}^{1} 4(x^2 + \frac{y}{2}) dy dx

. Birinci integralin sonucu

\frac{13}{48}

, ikinci integralin sonucu

\frac{21}{48}

'dir. Toplandığında

\frac{34}{48} = \frac{17}{24}

elde edilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 10Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans ( $Cov(X,Y)$ ) kaçtır?

-\frac{1}{100}

0

\frac{1}{100}

\frac{7}{20}

\frac{9}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{1}{100}$

Cevap

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans

-\frac{1}{100}

değerine eşittir.

Kovaryans değeri,

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

genel formülü ile hesaplanır. Verilen ortak yoğunluk fonksiyonu üzerinden sırasıyla

E[X] = \frac{3}{5}

,

E[Y] = \frac{3}{5}

ve

E[XY] = \frac{7}{20}

olarak bulunur. Bu değerler formülde yerine konduğunda sonuç

\frac{7}{20} - \frac{9}{25} = -\frac{1}{100}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in beklenen değeri (

E[X]

) hesaplanır.

E[X] = \int_0^1 \int_0^1 x \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{5}

bulunur.

Kovaryans formülünde kullanmak için marjinal beklenen değerlere ihtiyaç vardır.

2

Y

'nin beklenen değeri (

E[Y]

) hesaplanır.

E[Y] = \int_0^1 \int_0^1 y \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{y}{3} + y^2 \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) = \frac{3}{5}

bulunur.

Kovaryans hesaplamasında

E[Y]

değeri gereklidir.

3

X

ve

Y

'nin ortak beklenen değeri (

E[XY]

) hesaplanır.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{y}{4} + \frac{y^2}{2} \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} \right) = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{24} = \frac{7}{20}

olarak elde edilir.

Kovaryans tanımı gereği değişkenlerin çarpımının beklenen değeri bulunmalıdır.

4

Kovaryans formülü uygulanır.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{7}{20} - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{35}{100} - \frac{36}{100} = -\frac{1}{100}

bulunur.

Kovaryans, ortak beklenen değer ile marjinal beklenen değerlerin çarpımının farkıdır.

Anahtar Kavram

Ortak Beklenen Değer ve Kovaryans

Soru 11Soru →

Bir e-ticaret sitesini ziyaret eden her bir müşterinin siteden ayrılmadan önce gerçekleştirdiği son eylem dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır: Sadece Ürün İnceleme ( $X_1$ ), Sepete Ekleme Ancak Almama ( $X_2$ ), Satın Alma ( $X_3$ ) ve Hemen Çıkış Yapma ( $X_4$ ).

Her bir müşterinin bu eylemlerden sadece birini gerçekleştirerek siteden ayrıldığı ve müşterilerin eylemlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Uzun dönemli kayıtlara göre bu eylemlerin gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0{}24$ , $p_2 = 0{}32$ , $p_3 = 0{}24$ ve $p_4 = 0{}20$ olarak bilinmektedir.

Belirli bir saat diliminde siteyi ziyaret eden toplam $150$ müşteriden $50$ 'sinin hemen çıkış yaptığı ( $X_4 = 50$ ) bilinmektedir.

Buna göre, geriye kalan müşteriler arasında 'Sadece Ürün İnceleme' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ( $X_1$ ) ile 'Sepete Ekleme Ancak Almama' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ( $X_2$ ) arasındaki koşullu kovaryans değeri, yani $Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50)$ kaçtır?

-11{}52

0

-12

12

-7{}68

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-12$

Cevap

Koşullu kovaryans değeri

-12

'dir.

Multinomiyal dağılımda bir değişkenin değeri bilindiğinde (

X_4 = 50

), geriye kalan değişkenler koşullu olarak yeni bir multinomiyal dağılım izler. Kalan deneme sayısı

n' = 150 - 50 = 100

olur. Kalan

X_1

,

X_2

ve

X_3

değişkenlerinin kendi içindeki olasılıkları koşullu olasılık gereği yeniden ölçeklendirilmelidir. Bu değişkenlerin toplam olasılığı

1 - p_4 = 1 - 0{}20 = 0{}80

'dir. Dolayısıyla yeni olasılıklar

p_1' = 0{}24 / 0{}80 = 0{}30

ve

p_2' = 0{}32 / 0{}80 = 0{}40

olarak güncellenir. Multinomiyal dağılımın kovaryans formülü

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

olduğuna göre, bu yeni alt dağılımda koşullu kovaryans

Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50) = -100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}40 = -12

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eylemlerin temel dağılımını belirleme

(X_1, X_2, X_3, X_4) \sim \text{Multinomiyal}(n=150, p=(0{}24; 0{}32; 0{}24; 0{}20))

Müşteriler birbirinden bağımsızdır ve her biri birbirinden ayrık 4 kategoriden tam olarak birine girmektedir.

2

Koşullu dağılımın deneme sayısını (n') bulma

X_4 = 50

bilindiğinde, kalan değişkenler

(X_1, X_2, X_3)

yeni bir multinomiyal dağılım izler. Yeni deneme sayısı

n' = 150 - 50 = 100

olur.

Multinomiyal dağılımda bir kategorinin gerçekleşme sayısı sabitlendiğinde, geriye kalan durumların sayısı toplam deneme sayısından düşülür.

3

Geriye kalan durumlar için koşullu olasılıkları (p') hesaplama

p_1' = \frac{0{}24}{1 - 0{}20} = 0{}30

ve

p_2' = \frac{0{}32}{1 - 0{}20} = 0{}40

Kalan üç durumun (

X_1, X_2, X_3

) kendi içindeki olasılık toplamlarının 1 olması için, başlangıç olasılıkları

1 - p_4

(kalan toplam olasılık) değerine bölünerek orantısal olarak artırılır.

4

Yeni dağılıma göre koşullu kovaryansı hesaplama

Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50) = -n' \cdot p_1' \cdot p_2' = -100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}40 = -12

Multinomiyal dağılımda iki değişken arasındaki kovaryans, örneklem büyüklüğü ile o değişkenlere ait olasılıkların çarpımının negatifine eşittir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Koşullu Dağılımlar ve Kovaryans

Alternatif Yöntem

Koşullu dağılımları binom üzerinden düşünerek de çözüme gidilebilir: Toplam

X_1 + X_2 \sim \text{Binom}(100, 0{}70)

. O halde

Var(X_1 + X_2) = 100 \cdot 0{}70 \cdot 0{}30 = 21

. Ayrıca

Var(X_1) = 100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}70 = 21

ve

Var(X_2) = 100 \cdot 0{}40 \cdot 0{}60 = 24

.

Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) + 2Cov(X_1, X_2)

formülünden

21 = 21 + 24 + 2Cov(X_1, X_2)

eşitliği kurularak

Cov(X_1, X_2) = -12

bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

Aşağıdaki tabloda $X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu, $P(X=x, Y=y)$ , verilmiştir:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0{}1$	$0{}2$	$0{}1$
$1$	$0{}3$	$0{}1$	$0{}2$

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-0{}04

0{}00

0{}04

0{}50

0{}54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-0{}04$

Cevap

Doğru cevap

-0{}04

değerini gösteren seçenektir.

Verilen ortak olasılık tablosundan,

X

'in beklenen değeri

E[X] = 1 \cdot (0{}3 + 0{}1 + 0{}2) = 0{}6

ve

Y

'nin beklenen değeri

E[Y] = 1 \cdot (0{}2 + 0{}1) + 2 \cdot (0{}1 + 0{}2) = 0{}9

olarak hesaplanır. Çarpımların beklenen değeri

E[XY] = (1 \cdot 1 \cdot 0{}1) + (1 \cdot 2 \cdot 0{}2) = 0{}5

'tir. Kovaryans tanımından,

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0{}5 - (0{}6 \cdot 0{}9) = -0{}04

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in marjinal olasılıklarını ve beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

P(X=1) = 0{}3 + 0{}1 + 0{}2 = 0{}6

olduğundan,

E[X] = 0 \cdot 0{}4 + 1 \cdot 0{}6 = 0{}6

elde edilir.

Kovaryans hesaplaması için öncelikle

X

değişkeninin ortalama (beklenen) değeri bulunmalıdır.

2

Y

'nin marjinal olasılıklarını ve beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplayın.

P(Y=1) = 0{}3

,

P(Y=2) = 0{}3

olduğundan,

E[Y] = 0 \cdot 0{}4 + 1 \cdot 0{}3 + 2 \cdot 0{}3 = 0{}9

elde edilir.

Kovaryans formülünün diğer bir bileşeni de

Y

değişkeninin marjinal beklenen değeridir.

3

X

ve

Y

'nin ortak beklenen değerini (

E[XY]

) hesaplayın.

Sıfır dışındaki x ve y değerleri için çarpımlar:

1 \cdot 1 \cdot 0{}1 + 1 \cdot 2 \cdot 0{}2 = 0{}1 + 0{}4 = 0{}5

. Yani

E[XY] = 0{}5

.

Kovaryans,

E[XY]

ile marjinal beklenen değerlerin çarpımının farkıdır.

4

Kovaryans formülünü (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) uygulayın.

Cov(X,Y) = 0{}5 - (0{}6 \cdot 0{}9) = 0{}5 - 0{}54 = -0{}04

bulunur.

Değişkenlerin birlikte değişim ölçüsünü veren standart formül ile nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kesikli Ortak Dağılımlarda Kovaryans ve Beklenen Değer

Soru 13Soru →

Bir üretim bandında üretilen iki farklı sensörün tepki süreleri (milisaniye cinsinden uygun bir ölçekte) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sensörlerin tepki sürelerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} 6x, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ sensörünün tepki süresine ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_X(x)$ ( $0 < x < 1$ aralığı için) aşağıdakilerden hangisidir?

6x(1-x)

3x^2

6x^2

6x

3(1-x^2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6x(1-x)$

Cevap

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

6x(1-x)

şeklindedir.

Doğru seçenek olan

6x(1-x)

,

X

'in marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak amacıyla

y

'ye göre integral alınırken,

x < y < 1

eşitsizliği dikkate alınarak alt sınırın

x

, üst sınırın ise

1

olarak doğru şekilde entegre edilmesiyle (

6x[1-x]

) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için kullanılacak integral yapısının kurulması.

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy

X

'in marjinal dağılımı, ortak fonksiyonun diğer değişken olan

Y

üzerinden tüm olası değerleri için entegre edilmesiyle elde edilir.

2

Tanım kümesine bakılarak

y

değişkeni için uygun integral sınırlarının belirlenmesi.

Tanım aralığı

0 < x < y < 1

olarak verilmiştir. Belirli ve sabit bir

x

değeri için

y

'nin alabileceği değerler

x

'ten başlar ve

1

'de biter. Sınırlar: alt sınır =

x

, üst sınır =

1

.

Bölge eşitsizliği

x < y < 1

yapısındadır. Bu da

y

'nin hiçbir zaman

x

'ten küçük olamayacağını gösterir.

3

Belirlenen sınırlar kullanılarak belirli integralin hesaplanması.

f_X(x) = \int_x^1 6x \, dy = 6x \int_x^1 1 \, dy = 6x [y]_x^1 = 6x(1-x)

y

'ye göre integral alınırken

6x

ifadesi bir sabit gibi davranır ve integral dışına çarpan olarak alınabilir. Sonrasında

y

sınırları yerine konularak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki değişkenli sürekli ortak olasılık dağılımlarında, sınırlı ve değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu bölgelerde marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun integral ile hesabı

Soru 14Soru →

Bir sigorta şirketinde birbiriyle ilişkili iki farklı risk türünün gerçekleşme oranları sırasıyla $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleriyle modellenmektedir. Analizler sonucunda, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu belirlenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1 \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kurumun toplam risk değerlendirme raporunda kullanılmak üzere, $X$ ve $Y$ risklerinin çarpımının beklenen değeri ( $E[XY]$ ) hesaplanmak istenmektedir.

Buna göre, bu beklenen değer aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{15}

\frac{4}{25}

-\frac{2}{75}

\frac{2}{5}

\frac{8}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{15}$

Cevap

Risklerin çarpımının beklenen değeri

\frac{2}{15}

olarak hesaplanır.

Ortak beklenen değer formülü olan

E[XY] = \int\int xy f(x,y) dy dx

uygulandığında, bölge sınırları dikkate alınarak hesaplanan

\int_0^1 \int_0^{1-x} 24x^2y^2 dy dx

integrali

\frac{2}{15}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

E[XY]

formülünü ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu için sınırlarıyla birlikte kurmak.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^{1-x} (xy) \cdot (24xy) dy dx

Sürekli ortak dağılımlarda çarpımın beklenen değeri tanımıdır ve

y

sınırları

x

'e bağlıdır (

y \le 1-x

).

2

İçteki integrali

y

değişkenine göre hesaplamak.

\int_0^1 24x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 8x^2 (1-x)^3 dx

Çok katlı integrallerde içten dışa doğru işlem yapılır.

3

Kalan tek değişkenli integrali çözmek.

8 \int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) dx = 8 \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} \right) = 8 \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{2}{15}

Polinomun integrali alınarak (veya Beta fonksiyonu kullanılarak) beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak Beklenen Değer Formülü ve Çok Katlı İntegraller

Soru 15Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} k \cdot x \cdot y, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $k$ sabitinin değeri kaçtır ve $X$ ile $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlık durumu hakkında ne söylenebilir?

k = 4

'tür ve

X

ile

Y

bağımsızdır.

k = 8

'dir ve

X

ile

Y

bağımsızdır.

k = 8

'dir ve

X

ile

Y

bağımlıdır.

k = 4

'tür ve

X

ile

Y

bağımlıdır.

k = 2

'dir ve

X

ile

Y

bağımlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $k = 8$ 'dir ve $X$ ile $Y$ bağımlıdır.

Cevap

k = 8

'dir ve

X

ile

Y

bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanımlı uzay üzerindeki toplam hacmi 1'e eşit olmalıdır. Eşitsizlikten elde edilen sınırlar

0 < y < x < 1

olduğuna göre, integral denklemi

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} kxy \, dy \, dx = 1

şeklinde kurulmalıdır. İç integral alındığında

\frac{kx^3}{2}

sonucu elde edilir, bunu dış integrale koyup hesapladığımızda

\frac{k}{8} = 1

denklemi ortaya çıkar ve buradan

k=8

olarak bulunur. İki değişkenin bağımsızlık analizini yapmak için destek kümelerine (sınır şartlarına) bakılır:

y

'nin alabileceği üst sınırın doğrudan

x

'e bağlı olması (yani destek bölgesinin dikdörtgensel değil üçgensel olması), bir değişkenin değerinin diğerinin olasılık dağılımını kısıtladığını gösterir. Bu nedenle

X

ve

Y

rastgele değişkenleri kesinlikle bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam integralini 1'e eşitleyen denklemi kurmak.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \cdot x \cdot y \, dy \, dx = 1

Herhangi bir geçerli olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm uzay üzerindeki toplam integrali daima 1 olmalıdır.

2

İçteki integrali

y

değişkenine göre hesaplamak.

\int_{0}^{x} k \cdot x \cdot y \, dy = k \cdot x \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{x} = k \cdot x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{k \cdot x^3}{2}

x

'i sabit kabul ederek

y

'ye göre integral alma kuralı uygulanır ve üst sınır olarak

x

yerine yazılır.

3

Dıştaki integrali

x

'e göre hesaplayıp

k

sabitinin değerini bulmak.

\int_{0}^{1} \frac{k \cdot x^3}{2} \, dx = \frac{k}{2} \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{k}{8} = 1 \implies k = 8

x

değişkeninin alt ve üst sınırları kullanılarak integral tamamlanır ve denklemin sonucu çözülür.

4

Bağımsızlık durumu için değişkenlerin tanım aralığını (destek kümesini) incelemek.

Destek kümesi

0 < y < x < 1

eşitsizliği ile verilmiştir.

y

'nin alabileceği maksimum değer,

x

'in anlık değerine bağımlıdır (dikdörtgensel bir bölge oluşturmaz).

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için gerek ve yeter şartlardan biri, ortak destek kümesinin dik açılı (sınırların birbirinden tamamen bağımsız sabitler olduğu Kartezyen çarpım şeklinde) bir bölge olması zorunluluğudur.

5

Sonucu belirlemek.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri bağımlıdır.

Tanım aralıkları birbirine bağlı olduğu için, fonksiyon formülü ayrı ayrı çarpanlara ayrılsa bile, bir değişkenin aldığı değer diğerinin alabileceği olasılık uzayını doğrudan kısıtlar.

Anahtar Kavram

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonlarında Sabit Hesaplaması ve Destek Kümesi Üzerinden Bağımsızlık Analizi

Alternatif Yöntem

Bağımlılık durumu, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları matematiksel olarak ayrı ayrı hesaplanıp çarpımlarının ortak fonksiyona eşit olmadığı gösterilerek de ispat edilebilir. Sırasıyla

f_X(x) = 4x^3

(aralık

0<x<1

) ve

f_Y(y) = 4y(1-y^2)

(aralık

0<y<1

) değerleri elde edilir.

f_X(x) \cdot f_Y(y) \neq f(x,y)

olduğu için değişkenler bağımlıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Bir devlet hastanesinin acil servisine başvuran hastalar, durumlarının aciliyetine göre dört farklı triyaj renk kodundan birine ayrılmaktadır. Uzun dönem kayıtlarına göre, bir hastanın yeşil ( $X_1$ ), sarı ( $X_2$ ), kırmızı ( $X_3$ ) veya siyah ( $X_4$ ) alana yönlendirilme olasılıkları sırasıyla $0,40$ , $0,30$ , $0,20$ ve $0,10$ olarak belirlenmiştir.

Belirli bir zaman diliminde acil servise birbirinden bağımsız olarak $200$ hastanın başvurduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, yeşil alana yönlendirilen hasta sayısı ile sarı veya kırmızı alana yönlendirilen toplam hasta sayısı arasındaki kovaryans, $Cov(X_1, X_2 + X_3)$ değeri kaçtır?

-40

-24

0

40

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-40$

Cevap

İstenen kovaryans değeri

-40

'tır.

Doğru hesaplama için iki yöntem kullanılabilir. Birincisi, kovaryansın doğrusallık özelliğini kullanarak işlemi

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3)

şeklinde ayırmaktır. Formül gereği

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

'dir. Buradan

(-200 \cdot 0,40 \cdot 0,30) + (-200 \cdot 0,40 \cdot 0,20) = -24 - 16 = -40

bulunur. İkinci (ve daha pratik) yöntem ise, sarı ve kırmızı alanları tek bir kategori (

Y = X_2 + X_3

) olarak birleştirmektir. Bu yeni kategorinin olasılığı

p_Y = 0,30 + 0,20 = 0,50

olur. Birleştirilmiş kategoriler de kendi içlerinde multinomiyal özellik gösterdiğinden, doğrudan

Cov(X_1, Y) = -n \cdot p_1 \cdot p_Y = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,50 = -40

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri tanımla.

Toplam hasta sayısı

n = 200

. Olasılıklar:

p_1 = 0,40

,

p_2 = 0,30

,

p_3 = 0,20

,

p_4 = 0,10

.

Multinomiyal dağılım problemlerinde toplam deneme sayısı ve kategori olasılıkları formüllerin temelini oluşturur.

2

İstenen ifadeyi kovaryansın doğrusallık özelliğini kullanarak aç.

Cov(X_1, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3)

Bir rastgele değişkenin, diğer iki rastgele değişkenin toplamı ile olan kovaryansı, o değişkenin diğerleriyle olan kovaryanslarının toplamına eşittir.

3

Multinomiyal dağılımda iki farklı kategori arasındaki kovaryans formülünü uygula.

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

formülüne göre:

Cov(X_1, X_2) = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,30 = -24

Cov(X_1, X_3) = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,20 = -16

Aynı toplam hacim (n) içindeki hücreler birbiriyle rekabet halindedir; biri artarken diğerinin alma potansiyeli düşeceği için aralarındaki ilişki negatiftir.

4

Bulunan kovaryans değerlerini topla.

(-24) + (-16) = -40

İkinci adımda kurulan eşitlik gereği nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans ve Birleştirme Özelliği

Alternatif Yöntem

Sarı ve kırmızı alanları tek bir 'Acil Müdahale' kategorisi olarak birleştirip yeni bir multinomiyal hücre oluşturabilirsiniz. Bu durumda

Y = X_2 + X_3

ve olasılığı

p_Y = 0,30 + 0,20 = 0,50

olur. Sorulan değer

Cov(X_1, Y) = -n \cdot p_1 \cdot p_Y = -200 \cdot 0,40 \cdot 0,50 = -40

şeklinde tek adımda bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir tedarik zinciri sisteminde, iki farklı depodan yapılan günlük sevkiyat miktarları (ton cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{4}(x + 2y), & 0 < x < 2 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu iki depodan yapılan sevkiyat miktarlarının çarpımının beklenen değeri, $E[XY]$ , kaçtır?

\frac{7}{12}

\frac{2}{3}

\frac{49}{72}

\frac{5}{6}

\frac{7}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{3}$

Cevap

İki depodan yapılan sevkiyat miktarlarının çarpımının beklenen değeri olan

E[XY]

,

\frac{2}{3}

olarak bulunmalıdır.

Verilen sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden

E[XY]

değerini bulmak için tanımlı sınırlar dahilinde

xy \cdot f(x,y)

ifadesinin çift katlı integrali alınmalıdır.

x \in (0,2)

ve

y \in (0,1)

aralığında

\frac{1}{4} \int_0^1 \int_0^2 (x^2y + 2xy^2) dx dy

işleminin sonucu önce

x

'e, ardından

y

'ye göre integral alınarak adım adım hesaplandığında doğru cevap olan

\frac{2}{3}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değer için çift katlı integral formülünü x ve y'nin tanımlı sınırlarıyla birlikte kurmak.

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy \left( \frac{1}{4}(x+2y) \right) dx dy

Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenlerde

E[g(X,Y)]

değeri, ilgilenilen fonksiyonun ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılarak tüm uzay üzerinden integralinin alınmasıyla bulunur.

2

İntegrali çözmek için parantezi açarak önce x değişkenine göre iç integrali hesaplamak.

\int_{0}^{2} (x^2y + 2xy^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + x^2y^2 \right]_0^2 = \frac{8}{3}y + 4y^2

Çift katlı integrallerde içten dışa doğru işlem yapılır. x'e göre integral alınırken y değişkeni sabit bir sayı gibi muamele görür.

3

Elde edilen ifadeyi olasılık yoğunluk fonksiyonunun katsayısıyla birlikte y değişkenine göre dış integrale tabi tutmak.

\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left( \frac{8}{3}y + 4y^2 \right) dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{4}{3}y^2 + \frac{4}{3}y^3 \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left( \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{2}{3}

Dış integral y'nin tanımlı olduğu

(0,1)

aralığında hesaplanarak sürecin sonlandırılması ve nihai beklenen değerin elde edilmesi sağlanır.

Anahtar Kavram

Sürekli İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Ortak Beklenen Değer

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Bir finansal modellemede, dört farklı yatırım aracının getirileri $\mathbf{R} = (R_1, R_2, R_3, R_4)^T$ vektörü ile temsil edilmektedir. Bu vektör, aşağıdaki parametrelere sahip dört değişkenli normal dağılım göstermektedir:

$\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}$

Bir finansal analist, $P_1 = R_1 - 2R_2$ şeklinde birinci bir portföy ve $P_2 = R_3 + R_4$ şeklinde ikinci bir portföy oluşturmuştur. Analist, $P_2$ portföyünün getirisinin $3$ birim olduğu bilgisini elde ettiğine göre, $P_1$ portföyünün getirisinin koşullu dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

N\left(-\frac{51}{13}, \frac{82}{13}\right)

N(-3, 7)

N\left(-\frac{51}{13}, \frac{186}{13}\right)

N\left(-\frac{25}{13}, \frac{82}{13}\right)

N\left(-\frac{45}{13}, \frac{82}{13}\right)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $N\left(-\frac{51}{13}, \frac{82}{13}\right)$

Cevap

P_1

'in,

P_2=3

koşulu altındaki dağılımı

N\left(-\frac{51}{13}, \frac{82}{13}\right)

şeklindedir.

Doğru seçenekte

P_1

ve

P_2

'nin marjinal beklenen değerleri (

E[P_1]=-3, E[P_2]=-1

), varyansları (

Var(P_1)=7, Var(P_2)=13

) ve aralarındaki kovaryans (

Cov(P_1,P_2)=-3

) hatasız bulunmuştur. Ardından koşullu ortalama formülü olan

E[P_1|P_2=3] = -3 + \left(\frac{-3}{13}\right)(3 - (-1)) = -51/13

ile koşullu varyans formülü

Var(P_1|P_2=3) = 7 - \frac{(-3)^2}{13} = 82/13

doğru bir şekilde uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

P_1

ve

P_2

portföylerinin marjinal beklenen değerlerinin hesaplanması.

E[P_1] = -3

ve

E[P_2] = -1

Koşullu dağılım formülünde kullanmak için yeni tanımlanan doğrusal kombinasyonların ortalamaları,

E[R_1] - 2E[R_2] = 1 - 2(2) = -3

ve

E[R_3] + E[R_4] = -1 + 0 = -1

işlemleriyle elde edilmelidir.

2

P_1

ve

P_2

portföylerinin marjinal varyanslarının matris üzerinden hesaplanması.

Var(P_1) = 7

ve

Var(P_2) = 13

Var(aX+bY)

kuralı gereğince;

Var(P_1) = Var(R_1) - 4Cov(R_1,R_2) + 4Var(R_2) = 3 - 4(1) + 4(2) = 7

ve

Var(P_2) = Var(R_3) + 2Cov(R_3,R_4) + Var(R_4) = 4 + 2(2) + 5 = 13

bulunur.

3

P_1

ile

P_2

arasındaki kovaryansın hesaplanması.

Cov(P_1, P_2) = -3

Kovaryansın doğrusallık özelliği kullanılarak;

Cov(R_1-2R_2, R_3+R_4) = Cov(R_1,R_3) + Cov(R_1,R_4) - 2Cov(R_2,R_3) - 2Cov(R_2,R_4) = 0 + (-1) - 2(1) - 2(0) = -3

hesaplanır.

4

Koşullu ortalama

E[P_1 | P_2=3]

değerinin bulunması.

\mu_{P_1|P_2=3} = -51/13

Çok değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer formülü olan

\mu_1 + \frac{Cov(1,2)}{Var(2)}(x_2 - \mu_2)

kullanılarak;

-3 + \left(\frac{-3}{13}\right)(3 - (-1)) = -3 - \frac{12}{13} = -51/13

sonucuna ulaşılır.

5

Koşullu varyans

Var(P_1 | P_2=3)

değerinin hesaplanması.

\sigma^2_{P_1|P_2=3} = 82/13

Koşullu varyans formülü

\sigma^2_1 - \frac{(Cov(1,2))^2}{\sigma^2_2}

uygulanarak;

7 - \frac{(-3)^2}{13} = 7 - \frac{9}{13} = \frac{91-9}{13} = 82/13

değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Doğrusal Kombinasyonları ve Koşullu Dağılım Özellikleri

Soru 19Soru →

Bir üretim tesisinde bir vardiyada gerçekleşen makine arızalarının sayısı $Y$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Bu tesisin geçmiş verilerine göre $Y$ 'nin beklenen değeri $E[Y] = 3$ ve varyansı $Var(Y) = 2$ 'dir.

Bir vardiyada üretilen kusurlu ürün sayısı olan $X$ 'in, makine arıza sayısına bağlı olduğu bilinmektedir. Belirli bir arıza sayısı $Y=y$ verildiğinde, kusurlu ürün sayısının koşullu beklenen değeri ve koşullu varyansı sırasıyla aşağıdaki gibi modellenmiştir:

$E[X|Y=y] = 4y$
$Var(X|Y=y) = 5y$

Buna göre, rastgele seçilen bir vardiyadaki toplam kusurlu ürün sayısının varyansı, yani $Var(X)$ kaçtır?

15

23

27

32

47

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 47

Cevap

Rastgele seçilen bir vardiyadaki toplam kusurlu ürün sayısının varyansı 47'dir.

Toplam varyans kuralına (Law of Total Variance) göre, koşulsuz varyans formülü

Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])

şeklindedir. Verilen modellere göre birinci terim

E[5Y] = 5 \times 3 = 15

ve ikinci terim

Var(4Y) = 16 \times 2 = 32

olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı bize

15 + 32 = 47

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam Varyans Kuralı'nı (Law of Total Variance) formülize edin.

Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var(E[X|Y])

Bir rastgele değişkenin koşulsuz varyansı, daima koşullu varyansının beklenen değeri ile koşullu beklenen değerinin varyansının toplamına eşittir.

2

Formülün ilk bileşeni olan koşullu varyansın beklenen değerini hesaplayın.

E[Var(X|Y)] = E[5Y] = 5E[Y] = 5 \times 3 = 15

Verilen

Var(X|Y=y) = 5y

modeli üzerinden beklenen değer alınmıştır. Beklenen değerin doğrusallığı (

E[aY] = aE[Y]

) gereği sabit çarpan dışarı çıkar.

3

Formülün ikinci bileşeni olan koşullu beklenen değerin varyansını hesaplayın.

Var(E[X|Y]) = Var(4Y) = 4^2 \times Var(Y) = 16 \times 2 = 32

Verilen

E[X|Y=y] = 4y

modeli üzerinden varyans alınmıştır. Varyansın özellikleri gereği içerideki sabit çarpan karesi alınarak (

Var(aY) = a^2Var(Y)

) dışarı çıkar.

4

Hesaplanan iki değeri toplayarak

Var(X)

sonucuna ulaşın.

Var(X) = 15 + 32 = 47

Toplam Varyans Kuralı uyarınca her iki bileşen toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Toplam Varyans Kuralı ve Varyans Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

İstatistiksel analizlerde, iki rastgele değişken arasındaki ilişkinin incelenmesinde kovaryans önemli bir kavramdır.

$X$ standart normal dağılıma sahip bir rastgele değişken ( $X \sim N(0,1)$ ) olmak üzere, yeni bir $Y$ rastgele değişkeni $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Bu $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin kovaryansı ( $Cov(X,Y)$ ) ve aralarındaki bağımsızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Y

değişkeni tamamen

X

'e bağlı olduğundan aralarında mükemmel bir korelasyon vardır ve bu nedenle

Cov(X,Y) = 1

'dir.

Cov(X,Y) = 0

olarak hesaplanır ve kovaryansın sıfır olması bu iki değişkenin kesinlikle bağımsız olduğunu gösterir.

Cov(X,Y) = 0

'dır; ancak aralarında karesel (

Y=X^2

) tam bir fonksiyonel ilişki bulunduğu için

X

ve

Y

bağımlı rastgele değişkenlerdir.

X

ve

Y

bağımlı rastgele değişkenler olduğundan, çarpımlarının beklenen değeri

E[XY]

, hiçbir zaman

E[X]E[Y]

'ye eşit olamaz ve

Cov(X,Y) \neq 0

'dır.

X

simetrik bir dağılıma sahip olup

E[X]=0

'dır; ancak

Y = X^2

her zaman pozitif olduğundan kovaryans pozitif çıkar ve aralarında pozitif bir ilişki vardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Cov(X,Y) = 0$ 'dır; ancak aralarında karesel ( $Y=X^2$ ) tam bir fonksiyonel ilişki bulunduğu için $X$ ve $Y$ bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Cevap

Doğru cevap,

Cov(X,Y) = 0

'dır; ancak aralarında karesel (

Y=X^2

) tam bir fonksiyonel ilişki bulunduğu için

X

ve

Y

bağımlı rastgele değişkenlerdir ifadesini içeren seçenektir.

Verilen problemde,

E[X]=0

ve

E[X^3]=0

özellikleri sayesinde kovaryans sıfır olarak hesaplanır. Ancak

Y = X^2

denklemi,

X

'in değeri bilindiğinde

Y

'nin değerinin kesin olarak bilineceğini gösterir. Bu tam fonksiyonel bağımlılık durumudur ve kovaryansın sıfır olması sadece bu ilişkinin doğrusal olmamasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans formülünü yazmak.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

Kovaryansı hesaplamak için

X

,

Y

ve

XY

'nin beklenen değerlerine ihtiyaç vardır.

2

X

ve

Y

'nin beklenen değerlerini belirlemek.

X \sim N(0,1)

olduğu için

E[X] = 0

'dır.

Y = X^2

olduğu için

E[Y] = E[X^2] = 1

'dir.

Standart normal dağılımın ortalaması 0 ve varyansı 1'dir (

E[X^2] - (E[X])^2 = 1

).

3

XY

'nin beklenen değerini hesaplamak.

E[XY] = E[X \cdot X^2] = E[X^3] = 0

Standart normal dağılım simetrik bir dağılımdır, bu nedenle tüm tek dereceli momentleri sıfıra eşittir.

4

Kovaryansı hesaplamak ve bağımsızlık durumunu yorumlamak.

Cov(X,Y) = 0 - (0 \cdot 1) = 0

.

Y

, tamamen

X

'e bağlı (

Y = X^2

) bir değişken olduğu için

X

ve

Y

bağımlıdır.

Kovaryansın sıfır olması sadece aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir. Herhangi bir (örneğin karesel) bağımlılık türü var olduğu için bu iki değişken bağımsız olamaz.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlığı Garanti Etmemesi

Tahmini Süre:1m 30s

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram