Examkin

Soru

Zorluk: KolayÇok Değişkenli Normal Dağılım

Bir istatistiksel analizde kullanılan X=(X1,X2,…,Xp)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_p)^T rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu rastgele vektörü oluşturan X1,X2,…,XpX_1, X_2, \dots, X_p bileşenlerinin birbirlerinden istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayıldığında, bu dağılıma ait varyans-kovaryans matrisinin (Σ)(\boldsymbol{\Sigma}) yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Birim matris
  2. Köşegen matrisCevap
  3. C
    Alt üçgen matris
  4. D
    Tekil (singular) matris
  5. E
    Ortogonal matris

Cevap

Varyans-kovaryans matrisinin yapısı köşegen matristir.
Çok değişkenli normal dağılımda, rastgele vektörün bileşenleri bağımsız ise bu bileşenler arasındaki tüm ikili kovaryanslar sıfır olur. Varyans-kovaryans matrisinde köşegen dışı elemanlar kovaryansları gösterdiğinden, bu elemanların tamamı sıfır olur. Sadece ana köşegen üzerindeki varyanslar sıfırdan farklı kalacağı için matris bir köşegen matris yapısına bürünür.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık varsayımının analiz edilmesi
Cov(Xi,Xj)=0Cov(X_i, X_j) = 0 (i≠ji \neq j için)
İstatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenler arasındaki kovaryans her zaman sıfırdır.
2
Varyans-kovaryans matrisinin (Σ)(\boldsymbol{\Sigma}) tanımının uygulanması
(Σ)ij=0(\boldsymbol{\Sigma})_{ij} = 0 (i≠ji \neq j)
Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder ve bağımsızlık gereği bu değerler sıfıra eşittir.
3
Matris formunun belirlenmesi
Köşegen matris
Yalnızca köşegen üzerindeki elemanları (varyansları) sıfırdan farklı, diğer tüm elemanları sıfır olan matrislere köşegen matris denir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık ve varyans-kovaryans matrisi ilişkisi

İpuçları

1
Rastgele değişkenler bağımsız olduğunda aralarındaki kovaryans değerinin ne olduğunu hatırlayın.
2
Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder. Bağımsızlık durumunda bu değerler sıfıra eşittir.

Daha Fazla Pratik

Varyansların hepsinin eşit olduğu özel bir köşegen matris durumunun (küresel dağılım) sonuçlarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım