Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇok Değişkenli Normal Dağılım

Bir ekosistem çalışmasında, su kalitesini belirleyen üç farklı ölçüm sırasıyla X1,X2X_1, X_2 ve X3X_3 rassal değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak dağılımı, ortalama vektörü μ\boldsymbol{\mu} ve varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan üç değişkenli normal dağılıma sahiptir:

μ=[205015],Σ=[93−23164−2425] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 20 \\ 50 \\ 15 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 3 & -2 \\ 3 & 16 & 4 \\ -2 & 4 & 25 \end{bmatrix}

Su kalitesini tek bir skorla değerlendirmek için W=2X1−X2+X3W = 2X_1 - X_2 + X_3 formülüyle hesaplanan bir indeks kullanılmaktadır.

Buna göre, WW indeksinin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. N(5,49)N(5, 49)Cevap
  2. B
    N(5,77)N(5, 77)
  3. C
    N(5,63)N(5, 63)
  4. D
    N(5,105)N(5, 105)
  5. E
    N(105,89)N(105, 89)

Cevap

WW indeksi ortalaması 55 ve varyansı 4949 olan N(5,49)N(5, 49) dağılımına sahiptir.
Çok değişkenli normal vektörlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılıma sahiptir. İndeks formülü W=2X1−X2+X3W = 2X_1 - X_2 + X_3 olduğuna göre; beklenen değer doğrusal olarak E[W]=2(20)−50+15=5E[W] = 2(20) - 50 + 15 = 5 bulunur. Varyans ise matris formülü aTΣa\mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a} veya genişletilmiş denklem ile Var(W)=4(9)+1(16)+1(25)+2[−2(3)−2(2)−1(4)]=77+2[−14]=49Var(W) = 4(9) + 1(16) + 1(25) + 2[ -2(3) - 2(2) - 1(4) ] = 77 + 2[-14] = 49 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
WW değişkeninin beklenen değerini hesaplayın.
E[W]=2E[X1]−E[X2]+E[X3]=2(20)−50+15=40−50+15=5E[W] = 2E[X_1] - E[X_2] + E[X_3] = 2(20) - 50 + 15 = 40 - 50 + 15 = 5
Beklenen değer operatörü doğrusaldır ve sabit katsayılar dışarı alınabilir.
2
Doğrusal kombinasyonun varyans formülünü yazın.
Var(W)=a12Var(X1)+a22Var(X2)+a32Var(X3)+2a1a2Cov(X1,X2)+2a1a3Cov(X1,X3)+2a2a3Cov(X2,X3)Var(W) = a_1^2 Var(X_1) + a_2^2 Var(X_2) + a_3^2 Var(X_3) + 2a_1 a_2 Cov(X_1,X_2) + 2a_1 a_3 Cov(X_1,X_3) + 2a_2 a_3 Cov(X_2,X_3)
Çok değişkenli dağılımlarda varyans hesaplanırken hem bireysel varyanslar hem de değişkenler arası kovaryanslar katsayılarla birlikte dikkate alınmalıdır.
3
Matristeki değerleri varyans formülüne yerleştirin.
Var(W)=(2)2(9)+(−1)2(16)+(1)2(25)+2[(2)(−1)(3)+(2)(1)(−2)+(−1)(1)(4)]Var(W) = (2)^2(9) + (-1)^2(16) + (1)^2(25) + 2[ (2)(-1)(3) + (2)(1)(-2) + (-1)(1)(4) ]
Matrisin köşegen elemanları varyansları, köşegen dışı elemanları kovaryansları verir. a1=2,a2=−1,a3=1a_1=2, a_2=-1, a_3=1 katsayıları yerlerine konur.
4
Varyans matematiksel işlemini tamamlayın.
Var(W)=36+16+25+2[−6−4−4]=77+2[−14]=77−28=49Var(W) = 36 + 16 + 25 + 2[ -6 - 4 - 4 ] = 77 + 2[-14] = 77 - 28 = 49
Toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak WW'nin varyansı elde edilir.
5
Sonuç dağılımını belirleyin.
W∼N(5,49)W \sim N(5, 49)
Çok değişkenli normal dağılımın herhangi bir doğrusal kombinasyonu da normal dağıldığı için sonuç parametreleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal kombinasyonların (linear combination) dağılım özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım