Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇok Değişkenli Normal Dağılım

Bir finansal modellemede, dört farklı yatırım aracının getirileri R=(R1,R2,R3,R4)T\mathbf{R} = (R_1, R_2, R_3, R_4)^T vektörü ile temsil edilmektedir. Bu vektör, aşağıdaki parametrelere sahip dört değişkenli normal dağılım göstermektedir:

μ=[12−10],Σ=[310−112100142−1025]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}

Bir finansal analist, P1=R1−2R2P_1 = R_1 - 2R_2 şeklinde birinci bir portföy ve P2=R3+R4P_2 = R_3 + R_4 şeklinde ikinci bir portföy oluşturmuştur. Analist, P2P_2 portföyünün getirisinin 33 birim olduğu bilgisini elde ettiğine göre, P1P_1 portföyünün getirisinin koşullu dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. N(−5113,8213)N\left(-\frac{51}{13}, \frac{82}{13}\right)Cevap
  2. B
    N(−3,7)N(-3, 7)
  3. C
    N(−5113,18613)N\left(-\frac{51}{13}, \frac{186}{13}\right)
  4. D
    N(−2513,8213)N\left(-\frac{25}{13}, \frac{82}{13}\right)
  5. E
    N(−4513,8213)N\left(-\frac{45}{13}, \frac{82}{13}\right)

Cevap

P1P_1'in, P2=3P_2=3 koşulu altındaki dağılımı N(−5113,8213)N\left(-\frac{51}{13}, \frac{82}{13}\right) şeklindedir.
Doğru seçenekte P1P_1 ve P2P_2'nin marjinal beklenen değerleri (E[P1]=−3,E[P2]=−1E[P_1]=-3, E[P_2]=-1), varyansları (Var(P1)=7,Var(P2)=13Var(P_1)=7, Var(P_2)=13) ve aralarındaki kovaryans (Cov(P1,P2)=−3Cov(P_1,P_2)=-3) hatasız bulunmuştur. Ardından koşullu ortalama formülü olan E[P1∣P2=3]=−3+(−313)(3−(−1))=−51/13E[P_1|P_2=3] = -3 + \left(\frac{-3}{13}\right)(3 - (-1)) = -51/13 ile koşullu varyans formülü Var(P1∣P2=3)=7−(−3)213=82/13Var(P_1|P_2=3) = 7 - \frac{(-3)^2}{13} = 82/13 doğru bir şekilde uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
P1P_1 ve P2P_2 portföylerinin marjinal beklenen değerlerinin hesaplanması.
E[P1]=−3E[P_1] = -3 ve E[P2]=−1E[P_2] = -1
Koşullu dağılım formülünde kullanmak için yeni tanımlanan doğrusal kombinasyonların ortalamaları, E[R1]−2E[R2]=1−2(2)=−3E[R_1] - 2E[R_2] = 1 - 2(2) = -3 ve E[R3]+E[R4]=−1+0=−1E[R_3] + E[R_4] = -1 + 0 = -1 işlemleriyle elde edilmelidir.
2
P1P_1 ve P2P_2 portföylerinin marjinal varyanslarının matris üzerinden hesaplanması.
Var(P1)=7Var(P_1) = 7 ve Var(P2)=13Var(P_2) = 13
Var(aX+bY)Var(aX+bY) kuralı gereğince; Var(P1)=Var(R1)−4Cov(R1,R2)+4Var(R2)=3−4(1)+4(2)=7Var(P_1) = Var(R_1) - 4Cov(R_1,R_2) + 4Var(R_2) = 3 - 4(1) + 4(2) = 7 ve Var(P2)=Var(R3)+2Cov(R3,R4)+Var(R4)=4+2(2)+5=13Var(P_2) = Var(R_3) + 2Cov(R_3,R_4) + Var(R_4) = 4 + 2(2) + 5 = 13 bulunur.
3
P1P_1 ile P2P_2 arasındaki kovaryansın hesaplanması.
Cov(P1,P2)=−3Cov(P_1, P_2) = -3
Kovaryansın doğrusallık özelliği kullanılarak; Cov(R1−2R2,R3+R4)=Cov(R1,R3)+Cov(R1,R4)−2Cov(R2,R3)−2Cov(R2,R4)=0+(−1)−2(1)−2(0)=−3Cov(R_1-2R_2, R_3+R_4) = Cov(R_1,R_3) + Cov(R_1,R_4) - 2Cov(R_2,R_3) - 2Cov(R_2,R_4) = 0 + (-1) - 2(1) - 2(0) = -3 hesaplanır.
4
Koşullu ortalama E[P1∣P2=3]E[P_1 | P_2=3] değerinin bulunması.
μP1∣P2=3=−51/13\mu_{P_1|P_2=3} = -51/13
Çok değişkenli normal dağılımda koşullu beklenen değer formülü olan μ1+Cov(1,2)Var(2)(x2−μ2)\mu_1 + \frac{Cov(1,2)}{Var(2)}(x_2 - \mu_2) kullanılarak; −3+(−313)(3−(−1))=−3−1213=−51/13-3 + \left(\frac{-3}{13}\right)(3 - (-1)) = -3 - \frac{12}{13} = -51/13 sonucuna ulaşılır.
5
Koşullu varyans Var(P1∣P2=3)Var(P_1 | P_2=3) değerinin hesaplanması.
σP1∣P2=32=82/13\sigma^2_{P_1|P_2=3} = 82/13
Koşullu varyans formülü σ12−(Cov(1,2))2σ22\sigma^2_1 - \frac{(Cov(1,2))^2}{\sigma^2_2} uygulanarak; 7−(−3)213=7−913=91−913=82/137 - \frac{(-3)^2}{13} = 7 - \frac{9}{13} = \frac{91-9}{13} = 82/13 değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Doğrusal Kombinasyonları ve Koşullu Dağılım Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım