Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBağımsızlık

Olasılık teorisi ve istatistiksel modellemede olaylar ile rastgele değişkenler arasındaki ilişkilerin analizi, bağımsızlık kavramının doğru yorumlanmasına dayanır.

Buna göre, rastgele değişkenler ve pozitif olasılıklı olaylar dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi olasılık kuralları açısından kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Birbirinden bağımsız olan herhangi iki olay aynı anda gerçekleşemeyeceğinden, bu olaylar daima ortak noktası olmayan ayrık olaylardır.
  2. B
    İki rastgele değişken için hesaplanan kovaryans değeri sıfır (Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0) ise, bu değişkenlerin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğu kesinleşir.
  3. C
    Ortak hiçbir noktası bulunmayan (ayrık) pozitif olasılıklı iki olayın kesişim olasılığı, bu olayların marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.
  4. D
    Rastgele değişkenlerin çarpımlarının beklenen değeri (E[XY]E[XY]), aralarındaki bağımlılık ilişkisi ne olursa olsun daima ayrı ayrı beklenen değerlerinin çarpımına (E[X]⋅E[Y]E[X] \cdot E[Y]) eşittir.
  5. İkiden fazla olayın bulunduğu bir deneyde, olayların her bir çiftinin birbiriyle ikişerli bağımsız olması, tüm olayların ortaklaşa (tam) bağımsız olduklarını matematiksel olarak garantilemez.Cevap

Cevap

İkiden fazla olayın yer aldığı bir sistemde, ikişerli bağımsızlığın tam (ortaklaşa) bağımsızlığı garantilemediğini belirten ifadedir.
Olasılık teorisine göre, ikiden fazla olayın bulunduğu durumlarda olayların kendi aralarında eşleştirildiğinde bağımsızlık şartını sağlaması (ikişerli bağımsızlık), bu olayların tamamının aynı anda gerçekleşme ihtimalinin bireysel olasılıklarının çarpımına eşit olmasını (tam bağımsızlık) gerektirmez. Doğru ifade bu kavramsal ayrımı vurgulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıklık ve Bağımsızlık ilişkisini değerlendir.
Bağımsız iki olayın kesişim olasılığı P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) ile hesaplanır. Olasılıklar pozitif olduğundan bu çarpım sıfırdan farklıdır. Ayrık olaylarda ise kesişim olasılığı daima sıfırdır. Bu nedenle bağımsız olaylar ayrık olamaz.
Bağımsızlığın, ayrıklık anlamına geldiği veya tam tersi durumların geçerli olduğu yanılgılarını elemek.
2
Kovaryans ve Bağımsızlık ilişkisini test et.
XX ve YY bağımsız ise Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0'dır. Ancak kovaryansın sıfır çıkması bağımsızlığı garantilemez, sadece doğrusal ilişki eksikliğini gösterir.
Kovaryansın sıfır olmasını mutlak bağımsızlık olarak yorumlayan hatalı çıkarımı elemek.
3
Beklenen Değer çarpım kuralını incele.
E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] eşitliği, bağımlı değişkenler için genel bir kural değildir, bağımsızlık şartı gerektirir.
Çarpımın beklenen değerinin koşulsuz dağıtılabileceği hatasını tespit etmek.
4
İkişerli bağımsızlık ile tam bağımsızlığı karşılaştır.
P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) gibi şartların her olay çifti için sağlanması, P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) şartının sağlandığı anlamına gelmez. Dolayısıyla ikişerli bağımsızlık, ortaklaşa bağımsızlığı matematiksel olarak garantilemez.
Doğru teorik önermeyi belirlemek.

Anahtar Kavram

Olasılıkta Bağımsızlık Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsızlık

Bu konudan daha fazla soru