Olasılık teorisinde olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık, ayrıklık ve koşullu i… — KPSS İstatistik

Olasılık teorisinde olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık, ayrıklık ve koşullu ilişkileri üzerine yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$A$ ve $B$ bağımsız olaylar olmak üzere, eğer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ eşitliği geçerliyse, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı mutlaka sıfıra eşittir.Cevap
B
İki olay birbirini dışlayan (ayrık) nitelikte ise, ortak kesişimleri boş küme olacağından bu olaylar istatistiksel olarak her zaman birbirinden bağımsızdır.
C
$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır olması ( $Cov(X,Y)=0$ ), bu iki değişkenin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğunu kesin olarak gösterir.
D
İki olayın koşullu olasılığı hesaplanırken, $A$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $B$ olayının gerçekleşme olasılığı her zaman $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ eşitliği ile bulunur.
E
Aynı örnek uzayda tanımlı $A$ , $B$ ve $C$ olayları ikişerli olarak bağımsız iseler, bu üç olayın ortak gerçekleşme olasılığı daima $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ olarak ifade edilir.

Cevap

Bağımsız olaylarda birleşim olasılığı iki olayın olasılıkları toplamına eşitse, olaylardan en az birinin olasılığının sıfır olması gerektiğini ifade eden seçenek.

Olasılık teorisinin temel toplama kuralına göre

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği geçerlidir. Seçenekteki öncülde verilen durumun sağlanabilmesi için

P(A \cap B) = 0

olmalıdır. Aynı zamanda

A

B

'nin bağımsız olduğu bilgisi de verilmiştir; bağımsız olayların kesişim olasılığı kendi marjinal olasılıklarının çarpımlarına eşittir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Bu iki durum birleştirildiğinde

P(A)P(B) = 0

denklemi ortaya çıkar. Matematik kuralları gereği, iki sayının çarpımının sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin değerinin sıfır olması kesin bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

Genel olasılık toplama kuralını yaz.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği elde edilir.

Herhangi iki olayın birleşiminin olasılığını bulmak için temel aksiyomdur.

Verilen

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

şartını genel kural ile karşılaştır.

P(A \cap B) = 0

sonucu çıkarılır.

Eşitliğin sağlanabilmesi için kesişim olasılığının çıkarıldığı terimin sıfır olması gerekir.

Bağımsızlık tanımını kesişim olasılığına uygula.

P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0

denklemi kurulur.

Soruda olayların bağımsız olduğu belirtildiğinden çarpım kuralı geçerlidir.

Denklemin matematiksel sonucunu yorumla.

P(A)=0

veya

P(B)=0

olmalıdır.

İki gerçel sayının çarpımı sıfır ise, çarpanlardan en az biri mutlaka sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Olasılık Aksiyomları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru