Bağımsızlık Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir üretim tesisinde görevli kalite kontrol mühendisi, elektronik sensörlerden gelen arıza sinyallerini ve ölçüm değerlerini (voltaj, sıcaklık vb.) analiz etmektedir. Mühendis, sistemde karşılaşılan hataların birbirleriyle olan bağlantılarını istatistiksel olarak değerlendirmektedir.

Sensör verileri üzerinden yapılan bu istatistiksel değerlendirmeler kapsamında, değişkenler ve olaylar arası ilişkiler ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

İki arıza olayının aynı anda gerçekleşme olasılığı sıfır ise (ayrık olaylar) ve her iki arızanın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan büyükse, bu iki arıza olayı istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.

Üretilen parçaların voltaj (

X

) ve akım (

Y

) değerleri için

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliğinin sağlanması, bu iki elektriksel değişkenin kesinlikle bağımsız olduğunu gösterir.

Ölçülen iki farklı performans değişkeni arasındaki kovaryans değerinin sıfır (

Cov(X,Y)=0

) bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak birbirlerinden tamamen bağımsız olduğu anlamına gelir.

Sistemdeki üç farklı hatanın (

A

,

B

ve

C

) karşılıklı (tam) bağımsız olması, bu hataların ikişerli olarak da bağımsız olmasını gerektirir; ancak hataların sadece ikişerli bağımsız olması karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.

Sistemdeki

A

ve

B

arızaları için,

B

arızasının gerçekleştiği bilindiğinde

A

arızasının gerçekleşme olasılığı (koşullu olasılık)

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

bağıntısı ile hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sistemdeki üç farklı hatanın ( $A$ , $B$ ve $C$ ) karşılıklı (tam) bağımsız olması, bu hataların ikişerli olarak da bağımsız olmasını gerektirir; ancak hataların sadece ikişerli bağımsız olması karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.

Cevap

Sistemdeki olayların karşılıklı (tam) bağımsız olması, ikişerli olarak bağımsız olmalarını zorunlu kılar; ancak ikişerli bağımsızlık, karşılıklı bağımsızlık için yeterli değildir.

Olasılık teorisinde, ikiden fazla olayın söz konusu olduğu durumlarda 'karşılıklı (tam) bağımsızlık' en güçlü şarttır. Karşılıklı bağımsızlık kuralı, olayların hem kendi içlerindeki tüm ikili kesişimlerinde bağımsızlık kuralını hem de üçlü kesişimde çarpım kuralını sağlamasını gerektirir. Bu yüzden karşılıklı bağımsız olaylar her zaman ikişerli bağımsızdır. Fakat sadece

P(A \cap B) = P(A)P(B)

,

P(B \cap C) = P(B)P(C)

ve

P(A \cap C) = P(A)P(C)

şartlarının (ikişerli bağımsızlığın) sağlanması,

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

eşitliğini garanti edemez.

Adım Adım Çözüm

1

Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının analizi

Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez (

P(A \cap B) = 0

). Eğer bu olayların tekil olasılıkları sıfırdan büyükse, çarpımları sıfır olmaz.

P(A \cap B) \neq P(A)P(B)

olduğundan, olasılıkları sıfırdan büyük ayrık olaylar birbirine bağımlıdır.

Olayların birbirini dışlamasının bağımsızlık anlamına gelmediğini ispatlamak.

2

Beklenen değer çarpımı ve kovaryans ilişkisinin incelenmesi

Değişkenler için

E[XY]=E[X]E[Y]

veya

Cov(X,Y)=0

olması, sadece bu iki değişken arasında doğrusal bir ilişki (korelasyon) bulunmadığını kanıtlar. Bağımsızlık ise çok daha katı bir kavramdır ve doğrusal olmayan ilişkilerin de bulunmamasını gerektirir.

Sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli koşul olmadığını açıklamak.

3

Koşullu olasılık hesaplamasının kontrolü

B

olayı koşulu altında

A

'nın gerçekleşme olasılığı arandığında, evren (örnek uzay)

B

olayı ile sınırlandırılır. Bu yüzden paydada

P(B)

yer almalıdır.

Koşullu olasılık tanımındaki payda mantığını doğrulamak.

4

İkişerli ve karşılıklı bağımsızlık ilişkisinin belirlenmesi

Olayların karşılıklı bağımsızlığı tüm alt kesişimlerin bağımsızlığını (ikişerli bağımsızlık dâhil) ve

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

kuralını sağlarken; sadece ikişerli bağımsızlık üçlü kesişim şartının sağlandığını kesinleştirmez.

Bağımsızlık hiyerarşisini doğru konumlandırmak.

Anahtar Kavram

İkişerli ve Karşılıklı Bağımsızlık, Kovaryans-Bağımsızlık İlişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Olasılık teorisi kapsamında olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık özellikleri incelendiğinde, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu olaylar kesinlikle bağımsızdır.

Üç veya daha fazla olayın kendi aralarında ikişerli olarak bağımsız olması, bu olayların karşılıklı (tam) bağımsız olduklarını kesin olarak gösterir.

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olay bağımsız ise, bu olaylar ayrık olamazlar.

İki rastgele değişken arasındaki kovaryans sıfır (

Cov(X,Y)=0

) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır.

Bağımsız A ve B olayları için, B olayı bilindiğinde A'nın gerçekleşme olasılığı

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

formülüyle ifade edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olay bağımsız ise, bu olaylar ayrık olamazlar.

Cevap

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olayın bağımsız olmaları durumunda ayrık olamayacaklarını belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız iki olayın kesişiminin olasılığı, bu olayların ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Olayların olasılıkları sıfırdan büyük (

>0

) olduğu için, çarpımları da sıfırdan büyük olacaktır. Kesişimin olasılığı sıfırdan büyük olduğunda olayların kesişim kümesi boş olamaz; dolayısıyla bu olaylar ayrık olamazlar.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık ve ayrıklık tanımlarını matematiksel olarak ifade etmek.

İki olay bağımsız ise

P(A \cap B) = P(A)P(B)

olur. İki olay ayrık ise

P(A \cap B) = 0

olur.

Kavramlar arasındaki ilişkiyi olasılık özellikleri üzerinden kıyaslamak.

2

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız olayların kesişimini analiz etmek.

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

iken olaylar bağımsızsa,

P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0

sonucu elde edilir.

Çarpımın sıfırdan büyük olması, kesişim olasılığının sıfır olmadığını gösterir.

3

Elde edilen kesişim olasılığı sonucunu ayrıklık durumuyla karşılaştırmak.

P(A \cap B) > 0

olduğu için bu olayların kesişim kümesi boş olamaz. Dolayısıyla aynı anda gerçekleşebilirler ve ayrık değildirler.

Ayrık olayların kesişim olasılığının her zaman sıfır olması kuralını uygulamak.

4

Diğer ifadelerdeki kavram yanılgılarını tespit etmek.

Kovaryansın bağımsızlık için yeterli olmadığı, ikişerli bağımsızlığın karşılıklı bağımsızlığı garanti etmediği ve koşullu olasılık paydasının yanlış olduğu belirlenir.

Çeldiricilerin içerdiği temel istatistiksel ve olasılıksal hataları ayıklamak.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Kovaryans İlişkisi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunun istatistiksel analiz raporunda, risk modellemelerinde kullanılan olaylar ve rastgele değişkenler arasındaki teorik ilişkiler değerlendirilmektedir. Olasılık teorisindeki bağımsızlık kavramı ve bunun diğer istatistiksel ölçütlerle ilişkisi dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi olasılık aksiyomlarına ve teoremlerine göre kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

olayları istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ise, bu olayların tümleyenleri olan

A'

ve

B'

olayları da daima birbirinden bağımsızdır.

Meydana gelme olasılıkları sıfırdan büyük olan ve ortak hiçbir kesişim noktası bulunmayan (ayrık) iki olay, olasılık teorisine göre istatistiksel olarak bağımsızdır.

İki rastgele değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçen kovaryans değerinin sıfır olması (

Cov(X,Y) = 0

), bu değişkenlerin her zaman tam bağımsız olduğunu gösterir.

Bir örnek uzayındaki

A

,

B

ve

C

olaylarının ikişerli olarak bağımsızlık şartını sağlaması, bu üç olayın karşılıklı (toplu) olarak da bağımsız olmaları için yeterli bir koşuldur.

Bağımlı iki olaydan

A

'nın gerçekleştiği bilindiğinde

B

'nin koşullu olasılığı olan

P(B|A)

hesaplanırken, formüldeki paydaya koşul olayı olan

A

'nın olasılığı yerine

B

'nin olasılığı yazılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ olayları istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ise, bu olayların tümleyenleri olan $A'$ ve $B'$ olayları da daima birbirinden bağımsızdır.

Cevap

İki olayın bağımsız olması durumunda, bu olayların tümleyenlerinin de kendi aralarında bağımsız olacağını ifade eden seçenek kesinlikle doğrudur.

Bağımsızlık teorisine göre, eğer iki olay (

A

ve

B

) bağımsız ise, bu durum diğer kombinasyonlara da yansır:

A

ile

B'

,

A'

ile

B

, ve

A'

ile

B'

de kendi aralarında bağımsız olmak zorundadır. Matematiksel olarak,

P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')

eşitliği De Morgan kuralları ve olasılık aksiyomları kullanılarak kesin bir şekilde kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ayrıklık (kesişimin boş küme olması) ile bağımsızlık kavramlarının olasılık değerleri üzerinden teorik olarak karşılaştırılması.

Eğer iki olay ayrıksa

P(A \cap B) = 0

'dır. Olasılıklar sıfırdan büyükken

0 \neq P(A)P(B)

olacağı için ayrık olaylar bağımsız değil, tam tersine bağımlıdır.

Bağımsızlık yanılgılarını elemek için

P(A \cap B) = P(A)P(B)

genel şartının sınanması gerekir.

2

Kovaryansın sıfır olmasının bağımsızlık üzerindeki etkisinin değerlendirilmesi.

Kovaryans yalnızca doğrusal (lineer) ilişkiyi ölçer. Bağımsız değişkenlerin kovaryansı sıfırdır ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garanti etmez (

Y=X^2

gibi simetrik dağılımlı doğrusal olmayan ilişkilerde kovaryans sıfırdır ancak bağımlılık tamdır).

İstatistiksel modellemede yapılan en yaygın kavramsal hatanın (kovaryans = bağımsızlık) matematiksel altyapısının çürütülmesi.

3

İkişerli bağımsızlık ile karşılıklı (toplu) bağımsızlık koşullarının ayrıştırılması.

Olayların kendi aralarında ikili olarak bağımsız olması, üçünün birden kesişiminin olasılığının çarpımlarına eşit olacağı anlamına gelmez. Dolayısıyla ikişerli bağımsızlık, toplu bağımsızlık için yeterli değildir.

Çoklu olay analizlerinde bağımsızlığın her alt küme ve tüm küme için ayrı ayrı sağlanması gerektiğinin gösterilmesi.

4

Bağımsız olayların tümleyenlerinin bağımsızlık analizinin yapılması.

A

ve

B

bağımsız ise

P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)] = (1-P(A))(1-P(B)) = P(A')P(B')

elde edilir. Tümleyenler de bağımsızdır.

Teorik olasılık aksiyomlarının cebirsel açılımıyla doğru bilginin doğrudan kanıtlanması.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık Teorisi, Olasılık Aksiyomları ve Kavramsal Yanılgılar

Soru 4Soru →

Olasılık teorisinde olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık, ayrıklık ve koşullu ilişkileri üzerine yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

bağımsız olaylar olmak üzere, eğer

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

eşitliği geçerliyse, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı mutlaka sıfıra eşittir.

İki olay birbirini dışlayan (ayrık) nitelikte ise, ortak kesişimleri boş küme olacağından bu olaylar istatistiksel olarak her zaman birbirinden bağımsızdır.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır olması (

Cov(X,Y)=0

), bu iki değişkenin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğunu kesin olarak gösterir.

İki olayın koşullu olasılığı hesaplanırken,

A

olayının gerçekleştiği bilindiğinde

B

olayının gerçekleşme olasılığı her zaman

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

eşitliği ile bulunur.

Aynı örnek uzayda tanımlı

A

,

B

ve

C

olayları ikişerli olarak bağımsız iseler, bu üç olayın ortak gerçekleşme olasılığı daima

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

olarak ifade edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ bağımsız olaylar olmak üzere, eğer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ eşitliği geçerliyse, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı mutlaka sıfıra eşittir.

Cevap

Bağımsız olaylarda birleşim olasılığı iki olayın olasılıkları toplamına eşitse, olaylardan en az birinin olasılığının sıfır olması gerektiğini ifade eden seçenek.

Olasılık teorisinin temel toplama kuralına göre

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği geçerlidir. Seçenekteki öncülde verilen durumun sağlanabilmesi için

P(A \cap B) = 0

olmalıdır. Aynı zamanda

A

ve

B

'nin bağımsız olduğu bilgisi de verilmiştir; bağımsız olayların kesişim olasılığı kendi marjinal olasılıklarının çarpımlarına eşittir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Bu iki durum birleştirildiğinde

P(A)P(B) = 0

denklemi ortaya çıkar. Matematik kuralları gereği, iki sayının çarpımının sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin değerinin sıfır olması kesin bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

1

Genel olasılık toplama kuralını yaz.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği elde edilir.

Herhangi iki olayın birleşiminin olasılığını bulmak için temel aksiyomdur.

2

Verilen

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

şartını genel kural ile karşılaştır.

P(A \cap B) = 0

sonucu çıkarılır.

Eşitliğin sağlanabilmesi için kesişim olasılığının çıkarıldığı terimin sıfır olması gerekir.

3

Bağımsızlık tanımını kesişim olasılığına uygula.

P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0

denklemi kurulur.

Soruda olayların bağımsız olduğu belirtildiğinden çarpım kuralı geçerlidir.

4

Denklemin matematiksel sonucunu yorumla.

P(A)=0

veya

P(B)=0

olmalıdır.

İki gerçel sayının çarpımı sıfır ise, çarpanlardan en az biri mutlaka sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Olasılık Aksiyomları

Soru 5Soru →

Bir üniversitenin biyoistatistik araştırmalarında görevli bir veri bilimci, genetik faktörler ( $A$ , $B$ , $C$ ) ve biyolojik ölçümler ( $X$ , $Y$ ) arasındaki ilişkileri modellerken aşağıdaki teorik varsayımları listelemiştir:

I. Ortaya çıkma olasılıkları sıfırdan farklı olan $A$ ve $B$ genetik faktörleri ayrık (birbirini dışlayan) olaylar ise, bu faktörler istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.
II. $X$ ve $Y$ biyolojik ölçümlerini temsil eden rastgele değişkenler arasındaki kovaryans sıfır olarak hesaplanmışsa, bu iki değişken kesinlikle bağımsızdır.
III. $A$ , $B$ ve $C$ faktörlerinin karşılıklı (mutually) bağımsız olduğunu söyleyebilmek için sadece $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ eşitliği yeterli değildir; aynı zamanda her bir faktör çiftinin ikişerli (pairwise) bağımsız olması da zorunludur.

Buna göre, veri bilimcinin listelediği varsayımlardan hangisi veya hangileri teorik olarak kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Sadece üçüncü ifade kesinlikle doğrudur (Yalnız III).

Verilen öncüller arasında yalnızca üçüncü öncül matematiksel olarak doğrudur. Karşılıklı bağımsızlık tanımı gereği, bir olay grubunun karşılıklı bağımsız olabilmesi için hem grubun tamamının kesişim olasılığı kuralına uyması hem de kendi içindeki tüm alt kümelerin (ikili, üçlü vb.) bağımsızlık kuralını sağlaması zorunludur. Dolayısıyla yalnızca Yalnız III ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. ifadeyi değerlendir.

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

olan ayrık olaylar için

P(A \cap B) = 0

'dır.

P(A)P(B) > 0

olduğundan

P(A \cap B) \neq P(A)P(B)

olur ve olaylar bağımlıdır. Birinci ifade yanlıştır.

2

II. ifadeyi değerlendir.

Kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında yalnızca doğrusal (lineer) bir ilişki olmadığını gösterir.

Doğrusal olmayan yapısal bağımlılıklar söz konusu olabileceğinden, sıfır kovaryans kesin bağımsızlık anlamına gelmez. İkinci ifade yanlıştır.

3

III. ifadeyi değerlendir.

Üç olayın karşılıklı bağımsız olabilmesi için genel kesişim kuralı tek başına yeterli değildir.

Olayların kendi aralarındaki tüm alt ikili kombinasyonların da ikişerli (pairwise) bağımsızlık kuralını (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

vb.) sağlaması şarttır. Üçüncü ifade kesinlikle doğrudur.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Kovaryans İlişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetim biriminde, işyeri sicil dosyalarının incelenmesi sırasında karşılaşılan 'kayıt dışı istihdam tespiti' ( $A$ olayı) ile 'eksik prim ödemesi' ( $B$ olayı) durumlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olduğu ve her iki olayın da gerçekleşme olasılığının sıfırdan büyük olduğu ( $P(A) > 0, P(B) > 0$ ) saptanmıştır. Raporda ayrıca, bu denetimlerde harcanan süreleri temsil eden $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryansın sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) olduğu belirtilmiştir.

Olasılık teorisi kavramları dikkate alındığında, bu istatistiksel modelle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

olaylarının olasılıkları sıfırdan büyük ve bu olaylar bağımsız olduğundan, söz konusu iki olay kesinlikle ayrık (ayrışık) olaylar değildir.

A

ve

B

olayları birbirinden bağımsız kabul edildiği için, incelenen bir dosyada her iki usulsüzlüğün aynı anda tespit edilme olasılığı sıfırdır.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır olarak hesaplandığından, bu iki değişken birbirinden kesinlikle bağımsızdır.

B

olayı tespit edildiğinde

A

'nın da gerçekleşme olasılığını ifade eden

P(A|B)

değeri hesaplanırken, iki olayın kesişim olasılığı kural gereği doğrudan

P(A)

değerine bölünmelidir.

Bu iki olaydan en az birinin tespit edilme olasılığı olan

P(A \cup B)

, olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(A) + P(B)

formülü ile hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ olaylarının olasılıkları sıfırdan büyük ve bu olaylar bağımsız olduğundan, söz konusu iki olay kesinlikle ayrık (ayrışık) olaylar değildir.

Cevap

Sıfırdan büyük olasılıklı iki bağımsız olayın kesişim olasılığı da sıfırdan büyük olacağı için bu olaylar ayrık olamazlar seçeneği doğrudur.

İki olayın bağımsız olması, bu olayların kesişim (birlikte gerçekleşme) olasılığının, kendi marjinal olasılıklarının çarpımına eşit olması demektir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Soru metninde olayların olasılıklarının sıfırdan büyük olduğu (

P(A)>0

ve

P(B)>0

) verilmiştir. Bu durumda iki pozitif değerin çarpımı da daima sıfırdan büyük olmak zorundadır (

P(A \cap B) > 0

). Birbiriyle ayrık (mutually exclusive) olan olayların ise ortak hiçbir noktası bulunmadığından kesişim olasılıkları mutlak sıfırdır. Kesişim olasılığı sıfırdan büyük olarak hesaplanan bu iki olayın ayrık olması matematiksel olarak imkânsızdır.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

olaylarının bağımsızlık tanımını ve ayrıklık şartını matematiksel olarak ifade edin.

Bağımsızlık şartı:

P(A \cap B) = P(A)P(B)

. Ayrıklık şartı:

P(A \cap B) = 0

.

Olayların özelliklerini birbiriyle kıyaslayabilmek ve yorum yapabilmek için teorik tanımlara ihtiyaç vardır.

2

Verilen

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

koşullarını bağımsızlık formülünde yerine koyarak kesişim olasılığını inceleyin.

İki pozitif sayının çarpımı her zaman pozitif olacağından,

P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0

sonucu elde edilir.

Olayların aynı anda gerçekleşip gerçekleşemeyeceğini belirlemek için kesişim olasılığının sıfır olup olmadığı test edilmelidir.

3

Bulunan kesişim olasılığını ayrıklık tanımıyla karşılaştırarak yorumlayın.

P(A \cap B) > 0

olduğu için olaylar aynı anda gerçekleşebilir, yani ayrık (kesişimleri boş küme) değildirler.

Bağımsız ve sıfırdan büyük olasılığa sahip olayların teorik olarak neden ayrık olamayacağını ispatlamak için.

4

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisini değerlendirerek çeldiricileri eleyin.

Cov(X,Y) = 0

olması değişkenlerin doğrusal bağımlı olmadığını gösterir, ancak bu durum onların kesinlikle bağımsız olduğu anlamına gelmez.

Kovaryans ve bağımsızlık kavramları arasındaki tek yönlü ilişkiyi hatırlayarak hatalı çıkarımları tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık (Disjoint) Kavramlarının Teorik İlişkisi

Soru 7Soru →

Bir tarım il müdürlüğünde seralardaki mahsul kalitesini olumsuz etkileyen üç farklı bitki hastalığı ( $H_1$ , $H_2$ ve $H_3$ ) araştırılmaktadır. Bir serada bu hastalıkların görülme durumu sırasıyla $X$ , $Y$ ve $Z$ Bernoulli (gösterge) rastgele değişkenleriyle modellenmiştir ( $1$ : hastalık var, $0$ : hastalık yok).

Saha araştırmalarından elde edilen istatistiksel sonuçlar şöyledir:
- $H_1$ ve $H_2$ hastalıkları aynı serada eş zamanlı olarak hiç görülmemektedir (ayrık olaylar).
- $H_1$ ile $H_3$ ve $H_2$ ile $H_3$ hastalıklarının görülme durumları istatistiksel olarak birbirinden tamamen bağımsızdır.
- Her üç hastalığın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan farklıdır ( $P(H_i) > 0, \text{ } i=1,2,3$ ).

Verilen bu modele göre, değişkenlerin olasılık ve kovaryans yapılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

H_1

ve

H_2

olayları ayrık oldukları için

X

ve

Y

değişkenleri bağımsız değildir ve aralarındaki kovaryans negatiftir (

\text{Cov}(X,Y) < 0

).

H_1

ve

H_2

olayları ayrık (kesişimi boş küme) olduklarından istatistiksel olarak da bağımsızdırlar; bu nedenle

\text{Cov}(X,Y) = 0

'dır.

Sisteme eklenecek sürekli bir

T

sıcaklık değişkeni ile

X

arasındaki kovaryansın sıfır (

\text{Cov}(X,T)=0

) çıkması, sıcaklık ile

H_1

hastalığının kesinlikle bağımsız olduğunu kanıtlar.

H_3

hastalığının görüldüğü bilinen bir serada

H_1

'in de görülme olasılığı olan

P(H_1 \mid H_3)

, koşullu olasılık tanımı gereği

\frac{P(H_1 \cap H_3)}{P(H_1)}

formülüyle hesaplanır.

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri, değişkenlerin bağımlılık durumuna bakılmaksızın her zaman

E[X \cdot Y] = E[X] \cdot E[Y]

eşitliğini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_1$ ve $H_2$ olayları ayrık oldukları için $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımsız değildir ve aralarındaki kovaryans negatiftir ( $\text{Cov}(X,Y) < 0$ ).

Cevap

Ayrık (kesişimi olmayan) olaylar bağımsız değildir ve kovaryansları daima negatiftir ifadesi doğrudur.

Verilen senaryoda

H_1

ve

H_2

olayları aynı anda gerçekleşemez (ayrıktır), dolayısıyla kesişimlerinin olasılığı sıfırdır. Bağımsızlık şartı olan

P(H_1 \cap H_2) = P(H_1)P(H_2)

denkleminin sağ tarafı iki pozitif sayının çarpımı olduğundan pozitif çıkar. Sol taraf sıfır, sağ taraf pozitif olduğundan eşitlik sağlanamaz ve olaylar istatistiksel olarak bağımlı kabul edilir. İndikatör değişkenler için kovaryans

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - P(H_1)P(H_2)

olarak hesaplanır. Marjinal olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için bu işlemin sonucu her zaman negatif olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

H_1

ve

H_2

olaylarının kesişim olasılığını belirleme

H_1 \cap H_2 = \emptyset

olduğundan

P(H_1 \cap H_2) = 0

bulunur.

Soruda bu iki hastalığın eş zamanlı olarak hiç görülmediği, yani ayrık olaylar olduğu verilmiştir.

2

H_1

ve

H_2

olaylarının istatistiksel bağımsızlığını test etme

P(H_1) > 0

ve

P(H_2) > 0

olduğundan,

P(H_1)P(H_2) > 0

elde edilir.

0 \neq P(H_1)P(H_2)

olduğu için bu olaylar bağımlıdır.

Bağımsızlık tanımına göre iki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, marjinal olasılıkların çarpımına eşit olması zorunludur.

3

X

ve

Y

indikatör değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = P(H_1 \cap H_2) - P(H_1)P(H_2) = 0 - P(H_1)P(H_2)

. Sonuç negatiftir.

İndikatör değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, temsil ettikleri olayların kesişim olasılığına eşittir. Negatif sonuç, değişkenlerin ters yönde ilişkili (biri varken diğeri yok) olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Anahtar Kavram

Ayrık Olaylar ve Bağımsızlık İlişkisi ile Kovaryans

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 8Soru →

Bir yayınevi tarafından hazırlanan 'Olasılık ve Stokastik Süreçler' adlı akademik ders kitabının taslak inceleme sürecinde, editörler bağımsızlık, ayrıklık ve kovaryans kavramları ile ilgili yazılmış teorik ifadelerin doğruluğunu tartışmaktadır.

Bu taslak incelemesi sırasında karşılaşılan aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İki olayın birbirinden bağımsız olması, bu olayların aynı anda gerçekleşemeyeceğini yani ayrık (kesişimlerinin boş küme) olduklarını gösterir.

Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu iki olay aynı zamanda bağımsız olamaz.

İki rastgele değişken arasındaki kovaryans değerinin sıfır bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Bir örnek uzaydaki herhangi üç olayın ikişerli olarak bağımsız olması, bu olayların karşılıklı (tam) olarak da bağımsız olmasını her zaman garanti eder.

Herhangi bir

A

olayının

B

olayı gerçekleştiği bilindiğindeki koşullu olasılığı

P(A|B)

hesaplanırken, olayların kesişim olasılığı daima

A

olayının marjinal olasılığına bölünür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu iki olay aynı zamanda bağımsız olamaz.

Cevap

Doğru ifade, olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın aynı zamanda bağımsız olamayacağını belirten seçenektir.

Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık ise kesişimlerinin olasılığı sıfırdır (

P(A \cap B) = 0

). Eğer bu olaylar bağımsız olsaydı,

P(A \cap B) = P(A)P(B)

eşitliği sağlanmalıydı. Olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için çarpımları sıfır olamaz (

P(A)P(B) > 0

). Bu durum

0 = P(A)P(B)

şeklinde bir çelişkiye yol açar. Dolayısıyla ayrık olaylar bağımsız olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının matematiksel tanımları yazılır.

Ayrık olaylar için

P(A \cap B) = 0

geçerlidir. Bağımsız olaylar için ise

P(A \cap B) = P(A)P(B)

kuralı sağlanmalıdır.

Teorik ifadelerin doğruluğunu matematiksel kurallarla ispatlamak için tanımların netleştirilmesi gerekir.

2

Olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın bağımsızlık durumu test edilir.

Eğer

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

ise,

P(A)P(B) > 0

olur. Oysa olaylar ayrık olduğu için

P(A \cap B) = 0

'dır. Bu durumda

0 \neq P(A)P(B)

eşitsizliği ortaya çıkar, dolayısıyla bağımsız olamazlar.

Doğru olan seçeneğin kavramsal ispatını tamamlamak için çelişkiyi göstermek gereklidir.

3

Diğer ifadelerdeki istatistiksel yanılgılar tespit edilir.

Kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garantilemez, ikişerli bağımsızlık tam bağımsızlık anlamına gelmez ve koşullu olasılıkta payda kısmına koşul olayı yazılmalıdır.

Çeldirici seçeneklerin neden yanlış olduğunu kanıtlayarak eleme yapmak için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık İlişkisi

Soru 9Soru →

Bir devlet bankasının kredi risk analiz birimi tarafından yürütülen bir çalışmada, kredi başvurusu yapan müşterilerin 'gelir düzeyinin yetersiz olması' ( $A$ olayı) ile 'geçmiş ödemelerinde gecikme olması' ( $B$ olayı) durumlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Banka kayıtlarına göre bu olayların olasılıkları $P(A) = 0,20$ ve $P(B) = 0,30$ olarak saptanmıştır. Buna göre, rastgele seçilen bir müşteride hem gelir düzeyinin yetersiz olması hem de geçmiş ödemelerinde gecikme olması olasılığı ( $P(A \cap B)$ ) kaçtır?

0

0,06

0,50

0,20

0,66

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,06

Cevap

İki olayın bağımsızlığı varsayımı altında, her iki durumun aynı anda gerçekleşme olasılığı 0,06'dır.

İstatistiksel olarak bağımsız olan iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı (kesişim), bu olayların bireysel olasılıklarının çarpımına eşittir. Bu durumda

0,20 \times 0,30

işlemi bizi doğru sonuç olan 0,06 değerine ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların bağımsızlık tanımını hatırla.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Soruda

A

ve

B

olaylarının istatistiksel olarak bağımsız olduğu açıkça belirtilmiştir.

2

Verilen olasılık değerlerini formülde yerine koy.

0,20 \times 0,30

Gelir yetersizliği olasılığı 0,20 ve gecikme olasılığı 0,30 olarak verilmiştir.

3

Çarpma işlemini gerçekleştir.

0,06

Ondalık sayılarda çarpma işlemi sonucunda kesişim olasılığı bulunur.

Anahtar Kavram

İstatistiksel Bağımsızlık ve Çarpma Kuralı

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir olasılık uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olaylarının birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu iki olay için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların bireysel olasılıklarının çarpımına eşittir.

A

ve

B

olayları aynı zamanda ayrık (kesişimleri boş küme) olaylardır.

A

olayının gerçekleşmesi,

B

olayının gerçekleşme olasılığını kesinlikle artırır.

A

ve

B

olaylarının birleşim olasılığı, her zaman bu olayların olasılıkları toplamına eşittir.

Bu iki olay arasındaki kovaryans değeri daima 1'e eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların bireysel olasılıklarının çarpımına eşittir.

Cevap

İki olayın bağımsız olması, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığının (kesişim), ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşit olması demektir.

İki olayın bağımsız olması, birinin gerçekleşmesinin diğeri hakkında hiçbir bilgi vermemesi anlamına gelir. Matematiksel olarak bu durum, kesişim olasılığının bireysel olasılıkların çarpımına eşit olmasıyla (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

) ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık tanımını hatırla.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

İstatistikte iki olayın bağımsızlığı, çarpımsal kural ile tanımlanır.

2

Seçenekleri bu tanım ışığında değerlendir.

Tanımla birebir örtüşen ifadenin doğru olduğu görülür.

Diğer ifadeler ayrıklık veya yanlış korelasyon varsayımlarına dayanmaktadır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık Tanımı

İpuçları

1

Bağımsızlık ile ayrıklık (mutually exclusive) arasındaki temel farkı düşünün.

2

Matematiksel tanım gereği bağımsızlık, olasılıkların çarpımıyla ilgilidir.

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık ile ayrıklığın farkını netleştirmek için Venn şemaları üzerinde çalışma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Olasılık teorisinde olayların veya rastgele değişkenlerin birbirinden bağımsız olması, birçok istatistiksel yöntemin temel varsayımları arasında yer alır. Bağımsızlık kavramının özellikleri ve diğer kavramlarla ilişkisi dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İki olay bağımsız ise bu olayların kesişim olasılığı her zaman sıfıra eşittir.

İki rastgele değişken bağımsız ise bu değişkenler arasındaki kovaryans sıfıra eşittir.

Aralarındaki kovaryans değeri sıfır olan iki rastgele değişken her zaman bağımsızdır.

Bir örnek uzayda tanımlı ve olasılıkları sıfırdan büyük olan iki olay aynı anda hem bağımsız hem de ayrık olabilir.

İki olayın bağımsız olması için birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşit olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki rastgele değişken bağımsız ise bu değişkenler arasındaki kovaryans sıfıra eşittir.

Cevap

İki rastgele değişken bağımsız ise bu değişkenler arasındaki kovaryans değeri sıfıra eşittir.

Rastgele değişkenlerin bağımsız olması, aralarında hiçbir istatistiksel bağ bulunmadığı anlamına gelir. Bu durum, değişkenlerin çarpımının beklenen değerinin, kendi beklenen değerlerinin çarpımına eşit olmasına yol açar (

E[XY]=E[X]E[Y]

). Kovaryans formülünde (

E[XY]-E[X]E[Y]

) bu değerler birbirini götürdüğü için bağımsız değişkenlerin kovaryansı her zaman sıfır çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık tanımının beklenti (expected value) üzerindeki etkisini hatırla.

X

ve

Y

bağımsız ise

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliği sağlanır.

Bağımsız değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.

2

Kovaryans formülünü uygula.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülünde bağımsızlık şartını yerine koyduğumuzda

Cov(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0

elde edilir.

Bağımsızlık durumunda çarpımın beklenen değeri, beklenen değerlerin çarpımına eşit olduğu için fark sıfır olur.

3

Diğer kavramlarla (ayrıklık) olan farkı teyit et.

Bağımsızlık

P(A \cap B) = P(A)P(B)

iken, ayrıklık

P(A \cap B) = 0

şartını gerektirir.

Pozitif olasılıklı olaylarda bu iki şartın aynı anda sağlanması matematiksel olarak imkansızdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Kovaryans İlişkisi

Soru 12Soru →

Olasılık teorisinde iki olay veya rastgele değişkenin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

İki olay bağımsız ise, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı (

P(A \cap B)

) olayların kendi olasılıklarının çarpımına eşittir.

Bağımsız iki olay her zaman birbiriyle ayrık (mutually exclusive) olan olaylardır.

İki rastgele değişken arasındaki kovaryans değerinin sıfır olması, bu değişkenlerin her zaman bağımsız olduğunu kanıtlar.

Üç veya daha fazla olay için ikişerli (pairwise) bağımsızlık sağlanıyorsa, bu olaylar karşılıklı (mutual) olarak da bağımsızdır.

İki olay bağımsız olduğunda, koşullu olasılık değeri daima

P(A|B) = P(B)

şeklinde hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki olay bağımsız ise, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı ( $P(A \cap B)$ ) olayların kendi olasılıklarının çarpımına eşittir.

Cevap

İki olay bağımsız ise, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, kendi olasılıklarının çarpımına (

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

) eşittir.

Bağımsız olayların temel tanımı, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığının (

P(A \cap B)

), her bir olayın kendi olasılıklarının çarpımına eşit olmasıdır. Bu durum, bir olayın gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını hiçbir şekilde değiştirmediğini (etkilemediğini) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık tanımını hatırla.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

eşitliği sağlanmalıdır.

Olasılık teorisinde bağımsızlığın matematiksel tanımı budur.

2

Bağımsızlık ve ayrıklık arasındaki farkı değerlendir.

Bağımsız olaylar için

P(A \cap B) = P(A)P(B) \neq 0

olabilir, ancak ayrık olaylar için

P(A \cap B) = 0

olmalıdır.

Öğrenciler sıklıkla bu iki kavramı karıştırır; ancak bağımsız olaylar 'bilgi' ile ilgiliyken, ayrık olaylar 'küme kesişimi' ile ilgilidir.

3

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisini kontrol et.

Bağımsızlık

\Rightarrow

Sıfır Kovaryans, ancak Sıfır Kovaryans

\not\Rightarrow

Bağımsızlık.

Kovaryans sadece doğrusal ilişkileri yakalar; bağımsızlık ise her türlü ilişkisizliği gerektirir.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve İlişkili Kavramlar

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Olasılık teorisi ve istatistiksel modellemede olaylar ile rastgele değişkenler arasındaki ilişkilerin analizi, bağımsızlık kavramının doğru yorumlanmasına dayanır.

Buna göre, rastgele değişkenler ve pozitif olasılıklı olaylar dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi olasılık kuralları açısından kesinlikle doğrudur?

Birbirinden bağımsız olan herhangi iki olay aynı anda gerçekleşemeyeceğinden, bu olaylar daima ortak noktası olmayan ayrık olaylardır.

İki rastgele değişken için hesaplanan kovaryans değeri sıfır (

Cov(X,Y) = 0

) ise, bu değişkenlerin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğu kesinleşir.

Ortak hiçbir noktası bulunmayan (ayrık) pozitif olasılıklı iki olayın kesişim olasılığı, bu olayların marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

Rastgele değişkenlerin çarpımlarının beklenen değeri (

E[XY]

), aralarındaki bağımlılık ilişkisi ne olursa olsun daima ayrı ayrı beklenen değerlerinin çarpımına (

E[X] \cdot E[Y]

) eşittir.

İkiden fazla olayın bulunduğu bir deneyde, olayların her bir çiftinin birbiriyle ikişerli bağımsız olması, tüm olayların ortaklaşa (tam) bağımsız olduklarını matematiksel olarak garantilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İkiden fazla olayın bulunduğu bir deneyde, olayların her bir çiftinin birbiriyle ikişerli bağımsız olması, tüm olayların ortaklaşa (tam) bağımsız olduklarını matematiksel olarak garantilemez.

Cevap

İkiden fazla olayın yer aldığı bir sistemde, ikişerli bağımsızlığın tam (ortaklaşa) bağımsızlığı garantilemediğini belirten ifadedir.

Olasılık teorisine göre, ikiden fazla olayın bulunduğu durumlarda olayların kendi aralarında eşleştirildiğinde bağımsızlık şartını sağlaması (ikişerli bağımsızlık), bu olayların tamamının aynı anda gerçekleşme ihtimalinin bireysel olasılıklarının çarpımına eşit olmasını (tam bağımsızlık) gerektirmez. Doğru ifade bu kavramsal ayrımı vurgulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Ayrıklık ve Bağımsızlık ilişkisini değerlendir.

Bağımsız iki olayın kesişim olasılığı

P(A \cap B) = P(A)P(B)

ile hesaplanır. Olasılıklar pozitif olduğundan bu çarpım sıfırdan farklıdır. Ayrık olaylarda ise kesişim olasılığı daima sıfırdır. Bu nedenle bağımsız olaylar ayrık olamaz.

Bağımsızlığın, ayrıklık anlamına geldiği veya tam tersi durumların geçerli olduğu yanılgılarını elemek.

2

Kovaryans ve Bağımsızlık ilişkisini test et.

X

ve

Y

bağımsız ise

Cov(X,Y) = 0

'dır. Ancak kovaryansın sıfır çıkması bağımsızlığı garantilemez, sadece doğrusal ilişki eksikliğini gösterir.

Kovaryansın sıfır olmasını mutlak bağımsızlık olarak yorumlayan hatalı çıkarımı elemek.

3

Beklenen Değer çarpım kuralını incele.

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliği, bağımlı değişkenler için genel bir kural değildir, bağımsızlık şartı gerektirir.

Çarpımın beklenen değerinin koşulsuz dağıtılabileceği hatasını tespit etmek.

4

İkişerli bağımsızlık ile tam bağımsızlığı karşılaştır.

P(A \cap B) = P(A)P(B)

gibi şartların her olay çifti için sağlanması,

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

şartının sağlandığı anlamına gelmez. Dolayısıyla ikişerli bağımsızlık, ortaklaşa bağımsızlığı matematiksel olarak garantilemez.

Doğru teorik önermeyi belirlemek.

Anahtar Kavram

Olasılıkta Bağımsızlık Özellikleri

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumunun veri merkezinde çalışan $X$ , $Y$ ve $Z$ sistemlerinin arıza durumları incelenmektedir. Her bir sistemin arıza yapma olasılığının sıfırdan büyük olduğu bilinmektedir. Kurumun istatistik birimi tarafından yapılan analiz sonucunda; bu üç sistemin arıza olaylarının ikişerli bağımsız (pairwise independent) olduğu, ancak karşılıklı bağımsız (mutually independent) olmadığı tespit edilmiştir. Öte yandan, sistemlerin işlemci sıcaklık değerlerini temsil eden $T_1$ ve $T_2$ sürekli rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır ( $Cov(T_1, T_2) = 0$ ) olduğu hesaplanmıştır.

Bu istatistiksel bulgulara göre, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Sıcaklık değerlerini temsil eden

T_1

ve

T_2

değişkenlerinin kovaryansı sıfır olduğundan, bu değişkenler istatistiksel olarak birbirinden kesinlikle bağımsızdır.

X

ve

Y

sistemlerinin arıza olayları ikişerli bağımsız olduğuna göre, bu iki olayın aynı anda gerçekleşmesi mümkün değildir; dolayısıyla bu olaylar ayrıktır.

X

,

Y

ve

Z

sistemlerinin arıza olaylarının gösterge değişkenleri (indicator variables) sırasıyla

I_X

,

I_Y

,

I_Z

ise, bu üç sistemin birlikte arıza yapma durumunun beklenen değeri

E[I_X I_Y I_Z] = E[I_X]E[I_Y]E[I_Z]

formülü ile hesaplanabilir.

Her bir sistemin arıza olasılığı sıfırdan büyük olduğu için,

X

ve

Y

olaylarının bağımsız olması, bu olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olmasını imkânsız kılar.

X

sisteminin arıza yaptığı bilindiğinde

Y

sisteminin de arıza yapma olasılığı hesaplanırken, her iki sistemin ortak arıza yapma olasılığı, koşul olayı olan

X

'in olasılığı yerine

Y

'nin olasılığına bölünmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir sistemin arıza olasılığı sıfırdan büyük olduğu için, $X$ ve $Y$ olaylarının bağımsız olması, bu olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olmasını imkânsız kılar.

Cevap

Her bir sistemin arıza olasılığı sıfırdan büyük olduğu için, X ve Y olaylarının bağımsız olması, bu olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olmasını imkânsız kılar.

İstatistiksel bağımsızlık tanımına göre, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tek tek gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir (

P(X \cap Y) = P(X)P(Y)

). Soruda sistemlerin arıza olasılıklarının sıfırdan büyük olduğu açıkça belirtilmiştir. İki pozitif olasılık değerinin çarpımı sıfırdan büyük bir sayı vereceğinden,

X

ve

Y

'nin ortak kesişim olasılığı da sıfırdan büyüktür. Olayların ayrık (disjoint) olması için kesişimlerinin boş küme olması ve ortak gerçekleşme olasılıklarının sıfır olması gerekir. Bu nedenle, sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız olaylar uzayda hiçbir zaman ayrık olamazlar; mutlaka ortak bir kesişim alanına sahiptirler.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisinin değerlendirilmesi

Cov(T_1, T_2) = 0

olması değişkenlerin bağımsız olduğu anlamına gelmez, sadece aralarında doğrusal ilişki olmadığını gösterir.

Bağımsızlık kovaryansın sıfır olmasını gerektirir ancak tersi her zaman geçerli değildir (ortak normal dağılım istisnası hariç).

2

İkişerli bağımsızlık ile karşılıklı bağımsızlık farkının incelenmesi

Olaylar ikişerli bağımsız olup karşılıklı bağımsız olmadığından, üçlü kesişim olasılığı

P(X \cap Y \cap Z) \neq P(X)P(Y)P(Z)

şeklindedir.

Beklenen değer çarpımının (

E[I_X I_Y I_Z]

) marjinal beklenen değerlerin çarpımına eşit olması için olayların tüm kombinasyonlarda karşılıklı bağımsız olması gerekir.

3

Bağımsızlık ve ayrıklık (disjointness) ilişkisinin kurulması

X

ve

Y

olayları ikişerli bağımsız şartını sağladığından

P(X \cap Y) = P(X)P(Y)

eşitliği geçerlidir.

Olaylar bağımsız ise ortak gerçekleşme olasılıkları, bireysel gerçekleşme olasılıklarının çarpımıdır.

4

Kesişim olasılığının analiz edilmesi ve nihai sonucun çıkarılması

Soruda

P(X) > 0

ve

P(Y) > 0

verilmiştir. Buna göre

P(X \cap Y) > 0

olur. Bu durum, olayların kesişiminin boş küme olmadığını, dolayısıyla ayrık olamayacaklarını kesinleştirir.

Ayrık olayların kesişim olasılığı her zaman sıfır olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, İkişerli/Karşılıklı Bağımsızlık ve Ayrıklık (Disjointness) Kavramları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

Bir ülkenin makroekonomik risk modellemesini yapan bir istatistik uzmanı, piyasada oluşabilecek $A$ , $B$ ve $C$ kriz olayları ile bu olayların gerçekleşme durumlarını gösteren (1: gerçekleşti, 0: gerçekleşmedi) sırasıyla $I_A$ , $I_B$ ve $I_C$ gösterge (indicator) rastgele değişkenlerini tanımlamıştır.

Uzman, kurduğu modelin teorik yapısı gereği aşağıdaki matematiksel eşitliklerin ve koşulların sağlandığını raporlamıştır:
I. $Cov(I_A, I_B) = 0$
II. $A$ ve $C$ olayları birbirini dışlayan (ayrık) olaylardır ve her ikisinin de marjinal olasılığı sıfırdan büyüktür ( $P(A) > 0$ ve $P(C) > 0$ ).
III. Üç kriz olayının birlikte gerçekleşme olasılığı için $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$ eşitliği geçerlidir.

Buna göre, risk modeli hakkında yapılan aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

B

kriz olayının gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

A

ve

C

olayları birbirini dışlayan olaylar olduğu için, bu iki olay aynı zamanda istatistiksel olarak bağımsızdır.

A

,

B

ve

C

olayları karşılıklı (tam) bağımsızdır, çünkü üçlü kesişimlerinin olasılığı marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

I_A

ve

I_B

değişkenlerinin kovaryansının sıfır olması, sadece doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir;

A

ve

B

olaylarının bağımsız olduğunu kanıtlamaz.

A

olayı verildiğinde

C

olayının koşullu olasılığı,

P(A \cap C)

değerinin

P(C)

değerine bölünmesiyle elde edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$ kriz olayının gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

Cevap

B kriz olayının gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

Doğru yanıt, B olayının olasılığının sıfır olduğunu belirten ifadedir. Soruda A ve C olaylarının birbirini dışladığı (ayrık olduğu) belirtilmiştir. Ayrık olayların kesişimi boş kümedir (A ∩ C = ∅), bu nedenle üç olayın kesişimi de (A ∩ B ∩ C) zorunlu olarak boş kümedir ve gerçekleşme olasılığı 0'dır. Sorudaki üçüncü eşitlikte yerine konduğunda 0 = P(A) × P(B) × P(C) denklemi elde edilir. P(A) ve P(C)'nin sıfırdan büyük olduğu soruda açıkça ifade edildiğinden, denklemi sıfır yapabilecek tek bileşen P(B)'dir. Bu sebeple B olayının gerçekleşme olasılığı kesinlikle sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans bilgisini yorumla

Cov(I_A, I_B) = E[I_A I_B] - E[I_A]E[I_B] = P(A \cap B) - P(A)P(B) = 0

olduğu görülür.

Gösterge değişkenlerinin beklenen değeri ilgili olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç, A ve B olaylarının bağımsız olduğunu gösterir.

2

Ayrıklık koşulunu üçlü kesişime uyarla

A \cap C = \emptyset

olduğundan,

A \cap B \cap C

kümesi de boş küme olmak zorundadır. Dolayısıyla

P(A \cap B \cap C) = 0

bulunur.

Birbirini dışlayan olaylar aynı anda gerçekleşemez, bu yüzden bu olayları içeren herhangi bir üçlü kesişim de imkansız olaydır.

3

Üçüncü eşitliği çöz

III. maddede verilen

P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)

eşitliğinde sol taraf 0 olarak bulunur:

0 = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)

.

Önceki adımda elde edilen sıfır olasılık değeri temel eşitlikte yerine konur.

4

Marjinal olasılıkları analiz et

P(A) > 0

ve

P(C) > 0

olarak verildiği için, denklemin sağlanabilmesi adına matematiksel olarak

P(B) = 0

olması zorunludur.

Pozitif iki sayının üçüncü bir sayıyla çarpımı sıfır ise, o üçüncü sayı kesinlikle sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Gösterge (Indicator) Değişkenleri ve Ayrıklık

Bağımsızlık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar