Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPoisson Dağılımı

Sağlık Bakanlığı Halk Sağlığı Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen rutin su kalitesi izleme programı kapsamında, belirli bir şebeke hattından alınan numunelerde tespit edilen spesifik mikrobiyolojik kontaminasyon vakalarının sayısının Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Yapılan analizlere göre, bu şebeke hattında 11 haftalık sürede ortalama 2,52,5 kontaminasyon vakası rapor edilmektedir.

Buna göre, 22 haftalık ardışık bir izleme periyodunda rapor edilecek toplam kontaminasyon vakası sayısının varyansı ve bu periyotta tam olarak 22 kontaminasyon vakası rapor edilme olasılığı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. 55 ve 252e−5\frac{25}{2} e^{-5}Cevap
  2. B
    2,52,5 ve 258e−2,5\frac{25}{8} e^{-2,5}
  3. C
    1010 ve 252e−5\frac{25}{2} e^{-5}
  4. D
    2,52,5 ve 252e−5\frac{25}{2} e^{-5}
  5. E
    55 ve 258e−2,5\frac{25}{8} e^{-2,5}

Cevap

22 haftalık periyot için varyans 55 ve 22 vaka rapor edilme olasılığı 252e−5\frac{25}{2} e^{-5}'tir.
Doğru seçenekte, izleme periyodu 11 haftadan 22 haftaya çıktığı için Poisson oran parametresi λ=2,5×2=5\lambda = 2,5 \times 2 = 5 olarak güncellenmiştir. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan (Var(X)=λVar(X) = \lambda), 22 haftalık varyans 55 olarak bulunur. 22 haftalık periyotta tam olarak 22 kontaminasyon vakası görülme olasılığı ise P(X=2)=52e−52!=252e−5P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5} formülüyle doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen problemi tanımlama ve temel parametreyi belirleme.
11 haftalık periyot için ortalama vaka sayısı (oran parametresi) λ=2,5\lambda = 2,5 olarak belirlenir.
Zaman içindeki ardışık bağımsız olayların modellenmesinde birim zamana düşen ortalama olay sayısı üzerinden ilerlenmesi gerekir.
2
Zaman periyodunu istenen aralığa göre ölçeklendirme.
İstenen süre 22 hafta olduğu için, Poisson oran parametresi bu süreye göre güncellenir: λyeni=2×2,5=5\lambda_{yeni} = 2 \times 2,5 = 5.
Poisson sürecinde ortalama olay sayısı (λ\lambda) dikkate alınan zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılıdır.
3
İstenen periyot için toplam vaka sayısının varyansını hesaplama.
Varyans değeri 55 olarak bulunur.
Poisson dağılımının tanımlayıcı özelliklerinden biri, beklenen değerin (λ\lambda) varyansa eşit olmasıdır (E(X)=Var(X)=λE(X) = Var(X) = \lambda).
4
Ölçeklenmiş parametre ile nokta olasılığını hesaplama.
Formülde λ=5\lambda=5 ve x=2x=2 değerleri yerine konulduğunda P(X=2)=52e−52!=252e−5P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5} sonucu elde edilir.
Nokta olasılığı Poisson olasılık kütle fonksiyonu olan P(X=x)=λxe−λx!P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} formülü ile hesaplanmaktadır.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde oran parametresinin ölçeklenmesi ve varyansın beklenen değere eşitliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru