Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bir vergi dairesi başkanlığı, ilçelerde yıllık olarak gerçekleştirilen vergi denetim sayısı (XX) ile tahsil edilen ek vergi geliri (YY, milyon TL) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon modeli (Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X) kurmak istemektedir.

Rastgele seçilen 10 ilçe için elde edilen özet istatistikler aşağıda verilmiştir:
∑i=110Xi=400\sum_{i=1}^{10} X_i = 400
∑i=110Yi=300\sum_{i=1}^{10} Y_i = 300
∑i=110(Xi−Xˉ)2=500\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 = 500
∑i=110(Yi−Yˉ)2=200\sum_{i=1}^{10} (Y_i - \bar{Y})^2 = 200
∑i=110(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=250\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 250

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile tahmin edilen regresyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Y^=−50+2,00X\hat{Y} = -50 + 2,00 X
  2. B
    Y^=−20+1,25X\hat{Y} = -20 + 1,25 X
  3. Y^=10+0,50X\hat{Y} = 10 + 0,50 XCevap
  4. D
    Y^=25+0,50X\hat{Y} = 25 + 0,50 X
  5. E
    Y^=50+0,50X\hat{Y} = 50 + 0,50 X

Cevap

Doğru regresyon denklemi Y^=10+0,50X\hat{Y} = 10 + 0,50 X şeklindedir.
Tahmin edilen regresyon denklemi En Küçük Kareler (EKK) formülleri ile elde edilir. İlk olarak eğim katsayısı hesaplanır: β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=250500=0,50\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{250}{500} = 0,50. Ardından kesme noktası hesaplanır: Gözlem sayısı n=10n=10 olduğundan ortalamalar Xˉ=40010=40\bar{X} = \frac{400}{10} = 40 ve Yˉ=30010=30\bar{Y} = \frac{300}{10} = 30 olarak bulunur. Bu değerler β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} formülünde yerine konulduğunda β^0=30−(0,50×40)=10\hat{\beta}_0 = 30 - (0,50 \times 40) = 10 elde edilir. Denklem Y^=10+0,50X\hat{Y} = 10 + 0,50 X olarak kurulur.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin örneklem ortalamalarını hesaplama
Xˉ=40010=40\bar{X} = \frac{400}{10} = 40 ve Yˉ=30010=30\bar{Y} = \frac{300}{10} = 30
EKK tahmin edicilerinden kesme noktasının hesaplanabilmesi için örneklem ortalamalarına ihtiyaç vardır.
2
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) hesaplama
β^1=250500=0,50\hat{\beta}_1 = \frac{250}{500} = 0,50
Eğim katsayısı, X ve Y arasındaki çarpım toplamlarının (kovaryansın payı), X'in kareler toplamına (varyansın payı) oranı ile bulunur.
3
Kesme noktasını (β^0\hat{\beta}_0) hesaplama
β^0=30−(0,50×40)=30−20=10\hat{\beta}_0 = 30 - (0,50 \times 40) = 30 - 20 = 10
Regresyon doğrusu örneklem ortalamalarından (Xˉ\bar{X}, Yˉ\bar{Y}) geçmek zorundadır, bu nedenle β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda EKK Formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

EKK (En Küçük Kareler) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru