Bir ekonomist, belirli bir emtianın günlük fiyat değişim yönü (X) ile piyasadaki spekülati… — KPSS İstatistik

Bir ekonomist, belirli bir emtianın günlük fiyat değişim yönü ( $X$ ) ile piyasadaki spekülatif işlem hacmi durumu ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi olasılıksal olarak modellemiştir.
Modelde $X$ rastgele değişkeni; fiyat düşüşü için $-1$ , fiyatın sabit kalması için $0$ , fiyat artışı için $1$ değerlerini almaktadır. $Y$ rastgele değişkeni ise; normal hacim için $0$ , yüksek hacim için $1$ değerlerini almaktadır.

Aşağıdaki tabloda, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin birlikte aldıkları değerlere ait ortak olasılık dağılımı verilmiştir:

$X$ \ $Y$	$0$	$1$
$-1$	$0$	$\frac{1}{4}$
$0$	$\frac{1}{2}$	$0$
$1$	$0$	$\frac{1}{4}$

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin kovaryansı ( $Cov(X, Y)$ ) ve birbirlerine göre bağımsızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
$Cov(X, Y) = 0$ 'dır ve değişkenler birbirinden bağımsızdır.
$Cov(X, Y) = 0$ 'dır ve değişkenler birbirine bağımlıdır.Cevap
C
$Cov(X, Y) = \frac{1}{4}$ 'tür ve değişkenler birbirine bağımlıdır.
D
$Cov(X, Y) = \frac{1}{2}$ 'dir ve değişkenler birbirinden bağımsızdır.
E
$Cov(X, Y) = -\frac{1}{4}$ 'tür ve değişkenler birbirine bağımlıdır.

Cevap

Kovaryans değeri sıfırdır (

Cov(X, Y) = 0

), ancak marjinal olasılıkların çarpımı ortak olasılıklara eşit olmadığı için değişkenler birbirine bağımlıdır.

Kovaryans hesaplamak için temel formül

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

kullanılır. Tablodaki verilerle

E[X] = 0

E[Y] = 1/2

E[XY] = (-1)(1)(1/4) + (0)(0)(1/2) + (1)(1)(1/4) = 0

bulunur. Değerler yerine konulduğunda kovaryansın sıfır olduğu görülür. Bağımsızlık sınaması için ise her

(x, y)

çiftinde

P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)

kuralı geçerli olmalıdır. Örneğin

(0, 0)

durumu için ortak olasılık

1/2

iken, marjinal olasılıkların çarpımı

(1/2) \cdot (1/2) = 1/4

'tür.

1/2 \neq 1/4

olduğu için değişkenler bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

Marjinal olasılıkların ve beklenen değerlerin (

E[X]

E[Y]

) hesaplanması

E[X] = 0

E[Y] = \frac{1}{2}

Kovaryans hesaplamasında

E[X]

E[Y]

marjinal beklenen değerlerine ihtiyaç vardır.

E[X] = (-1)\frac{1}{4} + (0)\frac{1}{2} + (1)\frac{1}{4} = 0

E[Y] = (0)\frac{1}{2} + (1)(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}

olarak bulunur.

X \cdot Y

çarpımının beklenen değerinin (

E[XY]

) hesaplanması

E[XY] = (-1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}) + (0 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2}) + (1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = 0

Kovaryans formülünün (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) birinci bileşenini bulmak için, değişkenlerin birlikte aldığı her bir değer çiftinin olasılıkla çarpılıp toplanması gerekir.

Kovaryans değerinin bulunması

Cov(X, Y) = 0 - (0 \cdot \frac{1}{2}) = 0

Hesaplanan beklenen değerler temel kovaryans formülünde yerine konularak iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin miktarı ve yönü belirlenir.

Değişkenlerin bağımsızlık durumunun kontrol edilmesi

P(X=0, Y=0) = \frac{1}{2}

iken marjinal çarpım

P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

'tür.

\frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}

olduğundan değişkenler bağımlıdır.

Kovaryansın sıfır çıkması bağımsızlığı garanti etmez (sadece doğrusal ilişki olmadığını gösterir). Kesin karar için ortak olasılık tablosundan seçilen bir durumun, marjinal olasılıkların çarpımına eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlık Anlamına Gelmemesi ve Kovaryans Hesaplaması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru