Examkin

Soru

Zorluk: ZorKovaryans ve Korelasyon

Bir kamu kurumunda yürütülen bölgesel kalkınma araştırmasında, iki farklı ilçenin yıllık ekonomik büyüme oranları sırasıyla XX ve YY rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda bu değişkenlerin varyansları Var(X)=16Var(X) = 16 ve Var(Y)=9Var(Y) = 9 olarak hesaplanmış, ayrıca iki ilçe arasındaki büyüme korelasyon katsayısı ρX,Y=0.25\rho_{X,Y} = 0.25 olarak bulunmuştur.

Çalışma kapsamında, istatistiksel analizleri farklı bir boyutta incelemek amacıyla iki yeni bileşik endeks tanımlanmıştır:
• Birinci Endeks: U=3X+4YU = 3X + 4Y
• İkinci Endeks: V=3X−4YV = 3X - 4Y

Bu bilgilere göre, UU ve VV endeksleri arasındaki ilişkiyle (kovaryans ve bağımsızlık durumu) ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Cov(U,V)=0Cov(U, V) = 0'dır ve kovaryansın sıfır çıkması UU ile VV'nin birbirinden bağımsız değişkenler olduğunu garanti eder.
  2. Cov(U,V)=0Cov(U, V) = 0'dır ancak UU ile VV'nin bağımsız olup olmadığı bu bilgilerle kesin olarak söylenemez.Cevap
  3. C
    Cov(U,V)=288Cov(U, V) = 288'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.
  4. D
    Cov(U,V)=0Cov(U, V) = 0'dır ve bu sonuç, UU ile VV'nin ayrık (kesişimi boş küme olan) olaylara dayandığını ifade eder.
  5. E
    Cov(U,V)=12Cov(U, V) = 12'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.

Cevap

Hesaplamalar sonucunda kovaryansın sıfır olduğu bulunur; ancak kovaryansın sıfır olması, değişkenlerin bağımsız olduğunu garanti etmediğinden bağımsızlık durumu kesin olarak söylenemez.
Kovaryansın bilineerlik özelliği kullanılarak Cov(3X+4Y,3X−4Y)Cov(3X+4Y, 3X-4Y) ifadesi açıldığında, çapraz terimler (−12Cov(X,Y)-12Cov(X,Y) ve +12Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)) birbirini yok eder. Geriye 9Var(X)−16Var(Y)9Var(X) - 16Var(Y) kalır. Verilen varyans değerleri yerine konulduğunda sonuç 0 çıkar. Ancak istatistik teorisinde kovaryansın (veya korelasyonun) sıfır olması, değişkenler arasında yalnızca 'doğrusal' bir ilişki olmadığını gösterir. Değişkenlerin ortak dağılımının çok değişkenli normal olduğu belirtilmedikçe, sıfır kovaryans kesinlikle bağımsızlık anlamına gelmez.

Adım Adım Çözüm

1
Cov(U,V)Cov(U, V) ifadesini doğrusal bileşenlerine ayırarak yazın.
Cov(3X+4Y,3X−4Y)=Cov(3X,3X)+Cov(3X,−4Y)+Cov(4Y,3X)+Cov(4Y,−4Y)Cov(3X + 4Y, 3X - 4Y) = Cov(3X, 3X) + Cov(3X, -4Y) + Cov(4Y, 3X) + Cov(4Y, -4Y)
Kovaryansın bilineer (iki doğrusal) olma özelliğini kullanarak terimleri parçalamak işlemin temelidir.
2
Katsayıları dışarı çıkarın ve varyans eşitliklerini düzenleyin.
=(3)(3)Cov(X,X)+(3)(−4)Cov(X,Y)+(4)(3)Cov(Y,X)+(4)(−4)Cov(Y,Y)= (3)(3)Cov(X,X) + (3)(-4)Cov(X,Y) + (4)(3)Cov(Y,X) + (4)(-4)Cov(Y,Y)
=9Var(X)−12Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)−16Var(Y)= 9Var(X) - 12Cov(X,Y) + 12Cov(X,Y) - 16Var(Y)
Kovaryans formülünde sabit katsayılar çarpım olarak dışarı çıkar ve Cov(X,X)=Var(X)Cov(X,X) = Var(X)'tir. Ayrıca simetri özelliğinden dolayı Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y) = Cov(Y,X)'tir.
3
Birbirini götüren terimleri sadeleştirin ve bilinen değerleri yerine koyun.
−12Cov(X,Y)-12Cov(X,Y) ve +12Cov(X,Y)+12Cov(X,Y) birbirini götürür.
Geriye 9Var(X)−16Var(Y)9Var(X) - 16Var(Y) kalır.
9(16)−16(9)=144−144=09(16) - 16(9) = 144 - 144 = 0 bulunur.
Çapraz terimlerin birbirini yok etmesi nedeniyle, soruda verilen ρX,Y=0.25\rho_{X,Y} = 0.25 bilgisini kullanarak Cov(X,Y)Cov(X,Y) hesaplamaya gerek kalmadan sonuca ulaşılır.
4
Elde edilen 0 değerini istatistiksel bağımsızlık kavramı açısından yorumlayın.
Cov(U,V)=0Cov(U, V) = 0 çıktı. Bu durum aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir, ancak değişkenlerin bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlamaz.
Kovaryans yalnızca doğrusal ilişkinin ölçüsüdür. Bağımsız olan değişkenlerin kovaryansı her zaman 0'dır, fakat kovaryansı 0 olan değişkenler (örneğin Y=X2Y=X^2 gibi doğrusal olmayan bir ilişkiye sahipseler) bağımlı olabilirler.

Anahtar Kavram

Kovaryansın Doğrusal Özellikleri ve Bağımsızlık İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon

Bu konudan daha fazla soru