Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

θ>0\theta > 0 parametresine sahip bir kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=1θ,0<x<θf(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta

Bu kitleden seçilen n=1n=1 birimlik bir örneklem için tanımlanan T=XT = X tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ212\frac{\theta^2}{12}
  2. B
    θ26\frac{\theta^2}{6}
  3. C
    θ24\frac{\theta^2}{4}
  4. θ23\frac{\theta^2}{3}Cevap
  5. E
    θ22\frac{\theta^2}{2}

Cevap

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE) θ23\frac{\theta^2}{3} değerine eşittir.
Verilen düzgün dağılımda n=1n=1 için XX değişkeninin beklenen değeri θ/2\theta/2 ve varyansı θ2/12\theta^2/12 olarak hesaplanır. Tahmin edici olan T=XT=X ifadesinin yan miktarı E(T)−θ=−θ/2E(T)-\theta = -\theta/2 olur. Hata kareler ortalaması (MSE) formülü gereği Var(T)+[Yan(T)]2=θ2/12+θ2/4Var(T) + [Yan(T)]^2 = \theta^2/12 + \theta^2/4 işlemi yapıldığında doğru sonuç olan θ2/3\theta^2/3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayınız.
E(T)=E(X)=∫0θx⋅1θdx=[x22θ]0θ=θ2E(T) = E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \left[ \frac{x^2}{2\theta} \right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta}{2}
Yan miktarını bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri belirlenmelidir.
2
Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirleyiniz.
Yan(T)=E(T)−θ=θ2−θ=−θ2Yan(T) = E(T) - \theta = \frac{\theta}{2} - \theta = -\frac{\theta}{2}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.
3
Tahmin edicinin varyansını hesaplayınız.
E(X2)=∫0θx2⋅1θdx=θ23E(X^2) = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{\theta^2}{3} ise Var(T)=E(X2)−[E(X)]2=θ23−(θ2)2=θ212Var(T) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{\theta^2}{3} - (\frac{\theta}{2})^2 = \frac{\theta^2}{12}
MSE formülündeki temel bileşenlerden biri tahmin edicinin varyansıdır.
4
MSE formülünü uygulayarak sonucu bulunuz.
MSE(T)=Var(T)+[Yan(T)]2=θ212+(−θ2)2=θ212+θ24=4θ212=θ23MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{12} + (-\frac{\theta}{2})^2 = \frac{\theta^2}{12} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}
Hata kareler ortalaması (MSE), varyans ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin kalitesini ölçen ve hem değişkenliği (varyans) hem de doğruluğu (yan) içeren bir ölçüttür.

İpuçları

1
MSE hesaplamak için MSE(T)=Var(T)+[Yan(T)]2MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 formülünü kullanmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Eğer tahmin edici T=2XT = 2X olarak seçilseydi, bu tahmin edici yansız olur muydu ve MSE değeri nasıl değişirdi? Bunu hesaplayarak yansızlığın MSE üzerindeki etkisini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru