Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini (\m… — KPSS İstatistik

Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini ( $\mu$ ) tahmin etmek için bir çalışma yapmaktadır. Kitle varyansının $\sigma^2$ olduğu bilinmektedir. Uzman, geçmiş tecrübelerine dayanarak ortalama verimin $\mu_0$ civarında olacağını öngörmektedir. Rastgele seçilen $n$ farklı tarladan elde edilen verimlerin örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak hesaplanmıştır.

Uzman,

\mu

parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması ile kendi öngörüsünü,

0 < \alpha < 1

sabit bir ağırlık katsayısı olmak üzere,

\hat{\mu} = \alpha \bar{X} + (1-\alpha)\mu_0

şeklinde birleştirerek yeni bir tahmin edici tanımlamıştır.

Buna göre, $\hat{\mu}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}$
B
\alpha \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha) (\mu - \mu_0)^2
\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2Cevap
D
$\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 \mu^2$
E
\alpha^2 \sigma^2 + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Cevap

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(\hat{\mu}) + [Bias(\hat{\mu})]^2

). Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\hat{\mu}) = \alpha E(\bar{X}) + (1-\alpha)\mu_0 = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

olduğundan, yan miktarı

E(\hat{\mu}) - \mu = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

olarak bulunur. Sabit bir tahmin değeri olan

\mu_0

'ın varyansı sıfır ve örneklem ortalaması

\bar{X}

'in varyansı

\sigma^2/n

olduğundan, tahmin edicinin varyansı

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

olur. Bu iki değer toplanarak doğru MSE elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicinin beklenen değerini (Expected Value) ve yan (Bias) miktarını hesaplamak

E(\hat{\mu}) = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

Yan = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

MSE hesaplaması için tahmin edicinin yansız olup olmadığını ve eğer yanlı ise yan miktarını belirlemek gereklidir.

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

MSE formülünün ikinci bileşeni olan tahmin edici varyansını bulmak için, sabitlerin varyansının sıfır olduğu ve katsayıların karesinin alındığı varyans özellikleri kullanılır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulamak

MSE(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

MSE = Varyans + Yan^2

formülü ile iki bileşen toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE), Varyans ve Yan İlişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru