Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir vergi denetmeni, bir bölgedeki yüksek gelirli mükelleflerin beyan ettikleri yıllık kazançları (bin TL) incelemektedir. Kazançların (XX), bilinen bir x0x_0 (x≥x0x \geq x_0) alt sınırı için aşağıdaki Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun olduğu varsayılmaktadır:

f(x;θ)=θx0θxθ+1,x≥x0,θ>0f(x; \theta) = \frac{\theta x_0^\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x \geq x_0, \theta > 0

Rastgele seçilen nn adet mükellefin kazançları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  2. ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_iCevap
  3. C
    \max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  4. D
    Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
  5. E
    \min(X_1, X_2, \dots, X_n)

Cevap

Gözlemlerin çarpımı olan ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i ifadesi, θ\theta parametresi için yeterli istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde, θ\theta parametresini içeren çarpanın verilere sadece gözlemlerin çarpımı (∏Xi\prod X_i) aracılığıyla bağlı olduğu görülmektedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu durum, gözlemlerin çarpımının parametre hakkında tam bilgi sağladığını ve dolayısıyla yeterli istatistik olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) kurun.
L(θ;x1,…,xn)=∏i=1nθx0θxiθ+1=θn(x0θ)n(∏i=1nxi)θ+1L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta x_0^\theta}{x_i^{\theta+1}} = \frac{\theta^n (x_0^\theta)^n}{(\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta+1}}
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.
2
Fonksiyonu parametreye bağlı ve bağımsız kısımlara ayırın.
L(θ;x)=[θnx0nθ(∏i=1nxi)−θ]⋅[(∏i=1nxi)−1]L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \theta^n x_0^{n\theta} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, olabilirlik fonksiyonunun g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılmasını gerektirir.
3
Yeterli istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) belirleyin.
g(T(x),θ)=θnx0nθ(∏xi)−θ  ⟹  T(x)=∏i=1nXig(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n x_0^{n\theta} (\prod x_i)^{-\theta} \implies T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n X_i
Parametreye (θ\theta) bağlı olan kısım sadece gözlemlerin çarpımı (TT) üzerinden verilere bağlıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir istatistik ve parametreden bağımsız bir gözlem fonksiyonu olarak çarpılabiliyorsa, o istatistik yeterlidir.

Alternatif Yöntem

Log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden gidilerek ∑ln⁡(Xi)\sum \ln(X_i) ifadesinin de yeterli olduğu görülebilir; ancak şıklarda bu ifadenin karşılığı olan çarpım formu (∏Xi\prod X_i) yer almaktadır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru