n adet gözlem birimi ve sabit terim dahil p adet parametreden oluşan bir çoklu doğrusal re… — KPSS İstatistik

$n$ adet gözlem birimi ve sabit terim dahil $p$ adet parametreden oluşan bir çoklu doğrusal regresyon modelinin matrisel gösterimi $Y = X\beta + \epsilon$ şeklindedir. Bu modelde tanımlanan $H = X(X'X)^{-1}X'$ matrisi (Hat matrisi) için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

$H$ matrisi idempotent bir matristir ve $H^2 = H$ özelliğini taşır.Cevap
B
$H$ matrisinin boyutu $p \times p$ olup, köşegen elemanlarının toplamı $n$ değerine eşittir.
C
$H$ matrisinin izi (trace), modeldeki hata terimlerinin serbestlik derecesi olan $n-p$ değerine eşittir.
D
$X$ matrisinin boyutu $p \times n$ olup, $X'X$ matrisi her zaman tekil (singular) bir matristir.
E
$H$ matrisi simetrik bir matris değildir ve $H \cdot e = Y$ eşitliğini sağlar.

Cevap

Hat matrisi idempotent bir matristir ve

H^2 = H

özelliğini taşır.

Hat matrisi

H = X(X'X)^{-1}X'

olarak tanımlanır. Bu matrisin kendisiyle çarpımı (

H \cdot H

) yapıldığında, ortadaki

X'X

(X'X)^{-1}

terimleri birim matris oluşturarak yok olur ve sonuç yine

H

matrisine eşit çıkar. Bu özellik matris cebirinde 'idempotent' olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

Matris boyutlarını belirleme

X

matrisi

n \times p

X'

matrisi

p \times n

boyutundadır.

H matrisinin tanımı olan

X(X'X)^{-1}X'

işleminde boyut uyumunu kontrol etmek gerekir.

H matrisinin boyutunu hesaplama

H = (n \times p) \times (p \times p) \times (p \times n) = n \times n

Matris çarpımı kuralları gereği ortadaki boyutlar sadeleşir.

İdempotentlik özelliğini kanıtlama

H \cdot H = [X(X'X)^{-1}X'] \cdot [X(X'X)^{-1}X'] = X(X'X)^{-1}(X'X)(X'X)^{-1}X' = X(X'X)^{-1}X' = H

Matrislerin çarpımında ters matris özelliği (

A^{-1}A = I

) kullanılarak ifadenin kendisini verdiği görülür.

Anahtar Kavram

Hat matrisi (H), bağımlı değişken vektörünü (

Y

), tahmin edilen değerler vektörüne (

\hat{Y}

) dönüştüren (

HY = \hat{Y}

) simetrik ve idempotent bir matristir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru