Examkin

Soru

Zorluk: OrtaModelin Matris Gösterimi

Bir ekonometrik çalışmada, 20 farklı haneye ait tüketim harcamalarını açıklamak amacıyla sabit terimin yanında 3 farklı bağımsız değişken (gelir, servet ve hane büyüklüğü) kullanılarak çoklu doğrusal regresyon analizi yapılmıştır. Bu modelin matrisel gösteriminde yer alan X′XX'X matrisinin boyutu ve parametrelerin (β^\hat{\beta}) En Küçük Kareler yöntemiyle tek bir çözüm kümesi olarak hesaplanabilmesi için bu matrisin sahip olması gereken temel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Boyutu 4×44 \times 4 olmalı ve matris tam ranjlı (nonsingüler) olmalıdır.Cevap
  2. B
    Boyutu 3×33 \times 3 olmalı ve matrisin determinantı sıfıra eşit olmalıdır.
  3. C
    Boyutu 20×2020 \times 20 olmalı ve matris köşegen bir yapıda olmalıdır.
  4. D
    Boyutu 4×44 \times 4 olmalı ve bağımsız değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı bulunmalıdır.
  5. E
    Boyutu 20×420 \times 4 olmalı ve matrisin rankı gözlem sayısına eşit olmalıdır.

Cevap

Matris boyutu 4×44 \times 4 olmalı ve çözüm için matris tam ranjlı (tersi alınabilir) bir yapıda bulunmalıdır.
Doğru cevapta belirtildiği üzere, modelde sabit terim dahil 4 parametre olduğu için X′XX'X matrisi 4×44 \times 4 boyutundadır. Parametre tahminlerini veren formül β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y olduğu için, çözümün varlığı X′XX'X matrisinin tersinin alınabilmesine (tam ranjlı olmasına) bağlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametre sayısının (pp) belirlenmesi
p=4p = 4
Modelde 1 sabit terim ve 3 bağımsız değişken olduğu belirtilmiştir. Toplam parametre sayısı k+1=3+1=4k + 1 = 3 + 1 = 4 olur.
2
X′XX'X matrisinin boyutunun hesaplanması
4×44 \times 4
Tasarım matrisi XX, n×pn \times p (20×420 \times 4) boyutundadır. X′X' matrisi p×np \times n (4×204 \times 20) boyutunda olduğundan, çarpımları olan X′XX'X matrisi p×pp \times p (4×44 \times 4) boyutunda kare bir matris olur.
3
EKK tahmin edicisi formülünün incelenmesi
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y
En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin hesaplanabilmesi için X′XX'X matrisinin tersinin ((X′X)−1(X'X)^{-1}) mevcut olması gerekir.
4
Matrisin tersi için gerekli koşulun saptanması
∣X′X∣≠0|X'X| \neq 0 (Nonsingüler)
Bir matrisin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı, yani matrisin tam ranjlı (sütunlarının doğrusal bağımsız) olması şarttır.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyonun matrisel çözümünde, parametrelerin benzersiz şekilde tahmin edilebilmesi için tasarım matrisinin sütunları arasında tam çoklu doğrusal bağlantı olmamalı ve X′XX'X matrisi tam ranjlı olmalıdır.

İpuçları

1
Matris boyutunu belirlerken sabit terimi (intercept) bir bağımsız değişken gibi düşünerek parametre sayısına eklemeyi unutmayın.
2
X′XX'X matrisi, tasarım matrisi XX'in transpozu ile kendisinin çarpımıdır; bu yüzden boyutu parametre sayısı olan p×pp \times p olur.

Daha Fazla Pratik

Parametre tahmin edicilerinin varyans-kovaryans matrisinin boyutunu ve formülünü (Var(β^)=σ2(X′X)−1Var(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1}) inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Modelin Matris Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru