Bir rüzgar enerjisi santrali projesinde, rüzgar hızları X, aşağıdaki olasılık yoğunluk fon… — KPSS İstatistik

Bir rüzgar enerjisi santrali projesinde, rüzgar hızları $X$ , aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0, \theta > 0

Burada $\theta$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla, rastgele seçilen $n$ hacimli bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi kullanılarak,

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta^2$ parametresi için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?
*(Bilgi: Bu dağılım için $E[X^2] = 2\theta^2$ ve $E[X^4] = 8\theta^4$ olarak verilmektedir.)*

$\frac{n+4}{n}\theta^4$ Cevap
B
$\frac{4}{n}\theta^4$
C
$\frac{n+8}{n}\theta^4$
D
$\frac{n^2+4}{n^2}\theta^4$
E
$\frac{1}{n}\theta^4$

Cevap

MSE(T) = \frac{n+4}{n}\theta^4

ifadesini veren seçenek doğru cevaptır.

Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

formülü kullanılır. Soruda verilen bilgilere göre tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \frac{1}{n} \sum E[X_i^2] = \frac{1}{n}(n \cdot 2\theta^2) = 2\theta^2

olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen parametre

\theta^2

olduğundan, yan miktarı

Bias(T) = E[T] - \theta^2 = 2\theta^2 - \theta^2 = \theta^2

olur. Varyans hesabı için

Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2 = 8\theta^4 - (2\theta^2)^2 = 4\theta^4

formülü uygulanır. Buradan

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{1}{n^2} \sum Var(X_i^2) = \frac{n \cdot 4\theta^4}{n^2} = \frac{4\theta^4}{n}

elde edilir. Sonuç olarak

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{4\theta^4}{n} + \theta^4 = \frac{n+4}{n}\theta^4

bulunur.

Adım Adım Çözüm

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplayın.

E[T] = 2\theta^2

Bias(T) = \theta^2

MSE hesaplaması için öncelikle tahmin edicinin parametreden ne kadar saptığını (yanlılık durumunu) bulmak gerekir.

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(X^2) = 4\theta^4

olduğu için

Var(T) = \frac{4\theta^4}{n}

Varyans, MSE formülünün (MSE = Varyans + Yan^2) temel bileşenlerinden biridir.

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde edin.

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{n+4}{n}\theta^4

Hata kareler ortalaması (MSE), varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru