Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı müfettişleri, bir fabrikada üretilen paketli gıdaların ağırlıklarını denetlemektedir. Fabrika kayıtlarına göre paket ağırlıklarının varyansının 400400 gram2\text{gram}^2 olduğu ve normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Rastgele seçilen 1616 paketin ortalama ağırlığı 500500 gram olarak hesaplandığına göre, kitle ortalaması (μ\mu) için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Z0,025=1,96Z_{0,025} = 1,96; t15;0,025=2,131t_{15; 0,025} = 2,131)

  1. (490,20;509,80)(490,20; 509,80)Cevap
  2. B
    (489,35;510,65)(489,35; 510,65)
  3. C
    (460,80;539,20)(460,80; 539,20)
  4. D
    (491,78;508,23)(491,78; 508,23)
  5. E
    (497,55;502,45)(497,55; 502,45)

Cevap

Kitlenin varyansı (σ2σ^2) bilindiği durumlarda, kitle ortalaması (μ\mu) için güven aralığı xˉ±Zα/2σn\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} formülü ile hesaplanır. Yapılan hesaplamalar sonucunda güven aralığı (490,20;509,80)(490,20; 509,80) olarak bulunur.
Verilen problemde kitlenin varyansı (σ2=400σ^2 = 400) kesin olarak bilinmektedir. İstatistiksel teoride, kitle varyansı biliniyorsa ve kitle normal dağılıyorsa, örneklem hacminden bağımsız olarak standart normal dağılım (Z) kullanılır. 500±1,96×(20/16)500 \pm 1,96 \times (20/\sqrt{16}) işlemi bizi (490,20;509,80)(490,20; 509,80) sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametreleri belirlemek
xˉ=500\bar{x} = 500, σ2=400⇒σ=20\sigma^2 = 400 \Rightarrow \sigma = 20, n=16n = 16, 1−α=0,95⇒Z0,025=1,961-\alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{0,025} = 1,96
Hesaplama için gerekli olan örneklem ortalaması, kitle standart sapması ve kritik tablo değerini saptamak gerekir.
2
Standart hatayı (SESE) hesaplamak
σxˉ=σn=2016=204=5\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{16}} = \frac{20}{4} = 5
Örneklem ortalamasının yayılımını ölçmek için kitle standart sapması örneklem hacminin kareköküne bölünür.
3
Hata payını (Margin of Error) bulmak
ME=Zα/2×SE=1,96×5=9,8ME = Z_{\alpha/2} \times SE = 1,96 \times 5 = 9,8
Güven sınırlarını belirlemek için kritik değer ile standart hata çarpılır.
4
Güven aralığı sınırlarını oluşturmak
AltSınır=500−9,8=490,20Alt Sınır = 500 - 9,8 = 490,20; U¨stSınır=500+9,8=509,80Üst Sınır = 500 + 9,8 = 509,80
Hesaplanan hata payı örneklem ortalamasından çıkarılıp eklenerek güven aralığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı biliniyorsa, örneklem hacmi ne olursa olsun ortalama için güven aralığı Z-dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Daha Fazla Pratik

Kitle varyansı bilinmeseydi ve örneklem varyansı aynı değerde kalsaydı hangi dağılımı kullanmanız gerekirdi? (Cevap: t-dağılımı)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru