Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken (xx) bilgisinden yararlanan oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R) etkinliği, basit aritmetik ortalama tahminleyicisi (yˉ\bar{y}) ile karşılaştırılmaktadır. İlgilenilen değişkenin değişim katsayısı CyC_y, yardımcı değişkenin değişim katsayısı CxC_x ve iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı ρ\rho ile gösterildiğinde; oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalama tahminleyicisinden daha etkin olması için gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}Cevap
  2. B
    ρ>Cy2Cx\rho > \frac{C_y}{2C_x}
  3. C
    ρ>2CxCy\rho > \frac{2C_x}{C_y}
  4. D
    ρ>2CyCx\rho > \frac{2C_y}{C_x}
  5. E
    ρ>CxCy\rho > \frac{C_x}{C_y}

Cevap

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamadan daha etkin olması için korelasyon katsayısının ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşulunu sağlaması gerekir.
Oran tahminleyicisinin hata karesi ortalaması, basit aritmetik ortalamanın varyansı ile karşılaştırıldığında, varyansın azalması için yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki doğrusal ilişkinin (korelasyonun) yeterince güçlü olması gerekir. Bu güç sınırı, değişkenlerin yayılımını temsil eden değişim katsayılarının oranının yarısı olan Cx2Cy\frac{C_x}{2C_y} değerinden büyük olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahminleyicilerin varyanslarını (MSE) karşılaştırın.
MSE(yˉR)<V(yˉ)MSE(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) olmalıdır.
Etkinlik, daha küçük varyansa sahip olma durumu olarak tanımlanır.
2
Varyans formüllerini değişim katsayıları cinsinden yazın.
1−fnYˉ2(Cy2+Cx2−2ρCxCy)<1−fnYˉ2Cy2\frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y) < \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2
Sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpanlar dışarı alınır.
3
Eşitsizliği sadeleştirerek ρ\rho değerini yalnız bırakın.
Cx2−2ρCxCy<0⇒Cx2<2ρCxCy⇒Cx<2ρCy⇒ρ>Cx2CyC_x^2 - 2\rho C_x C_y < 0 \Rightarrow C_x^2 < 2\rho C_x C_y \Rightarrow C_x < 2\rho C_y \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}
Oran tahminleyicisinin üstünlük bölgesini belirlemek için matematiksel sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisi Etkinlik Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bu konudan daha fazla soru