Darphane ve Damga Matbaası Genel Müdürlüğü tarafından basılan özel koleksiyon paralarının … — KPSS İstatistik

Darphane ve Damga Matbaası Genel Müdürlüğü tarafından basılan özel koleksiyon paralarının ağırlıklarının, hedeflenen standart değerden sapma miktarı $X$ (gram cinsinden) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1+x), & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Üretim sürecindeki kalite kontrol prosedürleri gereği, bir paradaki kalite kaybı ağırlık sapmasının karesi ile orantılı kabul edilmekte ve bu durum $Y = X^2$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ ( $0 < y < 1$ için) aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$ Cevap
B
$f_Y(y) = \frac{1+\sqrt{y}}{4\sqrt{y}}$
C
$f_Y(y) = \frac{1}{2}(1+\sqrt{y})$
D
$f_Y(y) = \frac{1}{2}(1+y)$
E
$f_Y(y) = \frac{1}{2}$

Cevap

Doğru fonksiyon

\frac{1}{2\sqrt{y}}

şeklindedir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi uygulandığında, ilk olarak

Y=X^2

için birikimli olasılık

P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak ifade edilir. Verilen

f_X(x) = \frac{1}{2}(1+x)

fonksiyonu bu sınırlar arasında entegre edildiğinde sonuç

\sqrt{y}

çıkar. Bu ifadenin

y

'ye göre türevinin alınmasıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

\frac{1}{2\sqrt{y}}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Y

rastgele değişkeninin Birikimli Dağılım Fonksiyonunu (CDF)

X

cinsinden yazın.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

Dağılım fonksiyonu yönteminin temel adımı, yeni değişkenin eşitsizliğini eski değişken cinsinden ifade etmektir.

X^2 \leq y

eşitsizliğini çözerek

X

'in sınırlarını belirleyin.

P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

Kareköklü dönüşümlerde (bire-bir olmayan dönüşümler) eşitsizliğin her iki tarafı (hem negatif hem pozitif kök) dikkate alınmalıdır.

Belirlenen sınırlar üzerinden

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_X(x)

) integralini alarak

F_Y(y)

'yi hesaplayın.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2}(1+x) dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}

Olasılığı bulmak için ilgili aralıkta yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanı (integrali) hesaplamak gerekir.

İntegral sınırlarını yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlayın.

\left( \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{y}{4} \right) - \left( -\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{y}{4} \right) = \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{\sqrt{y}}{2} = \sqrt{y}

Alt ve üst sınırlar yerine konduğunda, simetrik terimler birbirini götürür ve CDF

\sqrt{y}

olarak elde edilir.

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak için

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alın.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}

Birikimli dağılım fonksiyonunun türevi, sürekli rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu verir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler

Alternatif Yöntem

Soru Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemiyle de çözülebilir.

Y=X^2

bire-bir olmadığından fonksiyon iki parçaya ayrılır:

x_1 = -\sqrt{y}

x_2 = \sqrt{y}

. Jacobian (türevlerin mutlak değeri)

|dx/dy| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

olur.

f_Y(y) = f_X(x_1)|dx_1/dy| + f_X(x_2)|dx_2/dy| = \frac{1}{2}(1-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2}(1+\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}

sonucuna yine doğrudan ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular