Bir istatistiksel modelleme sürecinde, elde edilen bağımsız X_1, X_2, \dots, X_n rastgele … — KPSS İstatistik

Bir istatistiksel modelleme sürecinde, elde edilen bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = \frac{2}{3}\bar{X}$ tahmin edicisi (istatistiği) önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{8}{9n}\theta^2$
B
$\frac{n+12}{9n}\theta^2$
$\frac{n+8}{9n}\theta^2$ Cevap
D
$\frac{n+4}{9n}\theta^2$
E
$\frac{8-n}{9n}\theta^2$

Cevap

\frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Verilen dağılım

\alpha=2

\beta=\theta

parametreli bir Gamma dağılımı olup beklenen değeri

2\theta

, varyansı ise

2\theta^2

'dir.

\bar{X}

'in beklenen değeri

2\theta

ve varyansı

\frac{2\theta^2}{n}

olur.

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

\frac{4}{3}\theta

, varyansı ise katsayının karesi alınarak

\frac{8\theta^2}{9n}

olarak bulunur. Yan miktarı (Bias)

E[T] - \theta = \frac{1}{3}\theta

'dır. MSE formülüne göre varyans ve yanın karesi toplandığında

\frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitlenin beklenen değerini ve varyansını bulmak.

E[X] = 2\theta

Var(X) = 2\theta^2

Fonksiyon, parametreleri

\alpha=2

\beta=\theta

olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. İntegral veya dağılımın özellikleri kullanılarak kitle momentleri elde edilir.

Önerilen

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

E[T] = \frac{4}{3}\theta

Var(T) = \frac{8\theta^2}{9n}

Örneklem ortalamasının özellikleri gereği

E[\bar{X}] = E[X] = 2\theta

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{n}

'dir.

T

için

E[c\bar{X}] = cE[\bar{X}]

Var(c\bar{X}) = c^2Var(\bar{X})

formülleri uygulanır.

T

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını bulmak.

\text{Yan}(T) = \frac{1}{3}\theta

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile asıl parametrenin farkıdır:

E[T] - \theta = \frac{4}{3}\theta - \theta = \frac{1}{3}\theta

Hata kareler ortalamasını (MSE) hesaplamak.

\text{MSE}(T) = \frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması MSE = Var(

T

) + [Yan(

T

)]

^2

eşitliğiyle bulunur.

\frac{8\theta^2}{9n} + (\frac{1}{3}\theta)^2 = \frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{8\theta^2 + n\theta^2}{9n} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

Anahtar Kavram

Tahmin edicilerde MSE'nin, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olması (

MSE = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru