Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir aktüerya uzmanı, belirli bir sigorta branşında hasar ihbar sürelerini (ay cinsinden) analiz etmektedir. Bu sürelerin X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma sahip bir kitleden çekilmiştir:

f(x;θ)={1θe−x−θθ,x≥θ0,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)Cevap
  2. B
    T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    T(X)=X(1)T(\mathbf{X}) = X_{(1)}
  4. D
    T(X)=(∑i=1nXi,X(n))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(n)} \right)
  5. E
    T(X)=∑i=1n(Xi−X(1))T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})

Cevap

Doğru cevap, hem veri toplamını hem de örneklem minimumunu içeren istatistik vektörüdür: T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right).
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle olabilirlik fonksiyonu L(θ∣x)=1θnexp⁡(−∑xi−nθθ)I(x(1)≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta) şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, bu ifade g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazıldığında, θ\theta'yı barındıran gg fonksiyonunun içindeki tüm veriye bağlı terimler yeterli istatistiği oluşturur. Formüldeki ene^n kısmı h(x)h(\mathbf{x}) olarak ayrıldığında, geriye kalan ifadede θ\theta ile bağ kuran değişkenler ∑Xi\sum X_i ve X(1)X_{(1)}'dir. Dolayısıyla ortak yeterli istatistik bu iki terimi içeren vektördür.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun ve tanım kümesi kısıtını gösterge (indicator) fonksiyonu I(xi≥θ)I(x_i \geq \theta) ile ifade edin.
L(θ∣x)=∏i=1n[1θe−xi−θθI(xi≥θ)]L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \geq \theta) \right]
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (olabilirlik fonksiyonu) eksiksiz yazılması gerekir.
2
Çarpım işlemini uygulayarak olabilirlik fonksiyonunu basitleştirin ve gösterge fonksiyonlarını birleştirin.
L(θ∣x)=1θnexp⁡(−∑xi−nθθ)∏i=1nI(xi≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) \prod_{i=1}^n I(x_i \geq \theta)
Fonksiyonu Neyman Teoremi formuna getirmek için matematiksel sadeleştirmeler yapılmalıdır.
3
Üstel terimi düzenleyin ve ∏I(xi≥θ)\prod I(x_i \geq \theta) ifadesinin I(x(1)≥θ)I(x_{(1)} \geq \theta)'ya eşit olduğunu belirleyin.
L(θ∣x)=enθnexp⁡(−∑xiθ)I(x(1)≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta'dan büyük veya eşit olması, yalnızca en küçük değerin (minimumun) θ\theta'dan büyük veya eşit olması ile aynı anlama gelir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (L(θ∣x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta|\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x),θ)=1θnexp⁡(−∑xiθ)I(x(1)≥θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta) ve h(x)=enh(\mathbf{x}) = e^n
gg fonksiyonu içinde θ\theta parametresi ile ilişkili olan örneklem istatistikleri doğrudan yeterli istatistiği (sufficient statistic) verir.
5
g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) fonksiyonundaki istatistikleri tespit edin.
Fonksiyonda ∑xi\sum x_i ve x(1)x_{(1)} terimleri yer aldığından yeterli istatistik T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right) olarak bulunur.
Parametre boyutunun 11 olmasına rağmen, parametrenin hem konum hem ölçek belirlediği bu tip dağılımlarda minimal yeterli istatistik 22 boyutlu bir vektör olabilir.

Anahtar Kavram

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru