Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli kalite kontrol mühendisi, üretilen çelik halatların… — KPSS İstatistik

Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli kalite kontrol mühendisi, üretilen çelik halatların ortalama kopma mukavemetini ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla, normal dağılıma sahip olduğu bilinen kitleyi temsil eden $n=10$ birimlik rastgele bir örneklem almıştır.

Mühendis, bu örneklem verilerini kullanarak $\mu$ için $\%95$ güven düzeyinde bir güven aralığı hesaplamış ve sonucu $(235, 265)$ kg olarak raporlamıştır.

Ancak yapılan kurum içi denetimde; mühendisin hata payını hesaplarken $t$ -dağılımının ilgili kritik değerini doğru kullandığı, fakat örneklem standart sapmasını hesaplarken sapmaların kareleri toplamını $n-1$ yerine yanlışlıkla $n$ 'e böldüğü (yani yansız standart sapma $S$ yerine, sapmalı $S_n = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2}$ formülünü kullandığı) tespit edilmiştir.

Buna göre, ortalama kopma mukavemeti ( $\mu$ ) için hesaplanması gereken doğru $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

$(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})$ Cevap
B
$(250 - \frac{9\sqrt{10}}{2},\; 250 + \frac{9\sqrt{10}}{2})$
C
$(250 - \frac{50}{3},\; 250 + \frac{50}{3})$
D
$(236.5,\; 263.5)$
E
$(235,\; 265)$

Cevap

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

aralığıdır.

Verilen hatalı güven aralığının merkezi

\bar{X} = 250

, hatalı hata payı ise

15

'tir. Hatalı hata payı

E_{yanlis} = t \cdot \frac{S_n}{\sqrt{n}}

formülü ile bulunmuştur. Doğru hata payı ise

E_{dogru} = t \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

olmalıdır. Varyans hesaplamalarındaki formül farklılığından dolayı

S = \sqrt{\frac{n}{n-1}}S_n

ilişkisi vardır.

n=10

için bu oran

\sqrt{10/9} = \frac{\sqrt{10}}{3}

'tür. Hatalı hata payını bu oranla çarptığımızda

15 \times \frac{\sqrt{10}}{3} = 5\sqrt{10}

doğru hata payını elde ederiz. Merkez (

\bar{X}=250

) değişmediği için doğru aralık

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

olacaktır.

Adım Adım Çözüm

Hatalı güven aralığından örneklem ortalamasını (

\bar{X}

) ve hesaplanan hatalı hata payını (

E_{yanlis}

) bulunuz.

\bar{X} = \frac{235 + 265}{2} = 250

kg,

E_{yanlis} = 265 - 250 = 15

kg.

Güven aralığı

\bar{X} \pm E

formülü ile oluşturulduğundan, alt ve üst sınırların ortalaması

\bar{X}

'i, farkının yarısı ise hata payını verir.

Doğru ve hatalı hata payı (margin of error) formüllerini karşılaştırarak oranlayınız.

Hatalı formül:

E_{yanlis} = t_{9, \alpha/2} \cdot \frac{S_n}{\sqrt{10}}

. Doğru formül:

E_{dogru} = t_{9, \alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{10}}

. Oran:

\frac{E_{dogru}}{E_{yanlis}} = \frac{S}{S_n}

Soruda kritik

t

değerinin ve

\sqrt{n}

'in doğru kullanıldığı, sadece standart sapma tahmin edicisinin yanlış (

S_n

) alındığı belirtilmiştir.

S

ile

S_n

arasındaki matematiksel ilişkiyi kurunuz.

S_n^2 = \frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n}

S^2 = \frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n-1}

olduğundan,

S^2 = \frac{n}{n-1}S_n^2 \Rightarrow S = \sqrt{\frac{n}{n-1}}S_n

Yansız standart sapma (

S

) ile sapmalı standart sapma (

S_n

) arasındaki oran serbestlik derecesine bağlıdır.

Doğru hata payını (

E_{dogru}

) hesaplayınız.

E_{dogru} = \sqrt{\frac{10}{9}} \times 15 = \frac{\sqrt{10}}{3} \times 15 = 5\sqrt{10}

Bulunan dönüşüm oranını (

\sqrt{10/9}

) hatalı hata payı (

15

) ile çarparak gerçek hata payını elde ederiz.

Doğru hata payı ile düzeltilmiş güven aralığını oluşturunuz.

Doğru Güven Aralığı =

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

Örneklem ortalaması (

\bar{X}=250

) değişmediğinden, yeni aralık ortalamaya yeni hata payının eklenip çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Güven aralığı hesaplamalarında yansız (

S

) ve sapmalı (

S_n

) standart sapma tahmin edicilerinin hata payına olan oransal etkisi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru