Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

X\mathbf{X}, n×kn \times k boyutlu ve tam sütun ranka sahip bir matris olmak üzere,

P=X(XTX)−1XT \mathbf{P} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T

şeklinde bir matris tanımlanıyor.

Buna göre, A=3P−2In\mathbf{A} = 3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n eşitliği ile verilen A\mathbf{A} matrisi için tr(A2)tr(\mathbf{A}^2) (matrisin karesinin izi) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (In\mathbf{I}_n, n×nn \times n boyutlu birim matristir.)

  1. 4n−3k4n - 3kCevap
  2. B
    4n+9k4n + 9k
  3. C
    3k−2n3k - 2n
  4. D
    n+3kn + 3k
  5. E
    9k−4n9k - 4n

Cevap

4n−3k4n - 3k ifadesini veren seçenektir.
Verilen P\mathbf{P} matrisi, çoklu doğrusal regresyon ve çok değişkenli analizlerde şapka matrisi (hat matrix) olarak da bilinen bir dik izdüşüm matrisidir. İz operatörünün döngüsel özelliği olan tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}) kuralı kullanıldığında, tr(P)=tr((XTX)−1XTX)=tr(Ik)=ktr(\mathbf{P}) = tr((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{X}) = tr(\mathbf{I}_k) = k bulunur. Ayrıca izdüşüm matrisleri idempotent olduğundan P2=P\mathbf{P}^2 = \mathbf{P} eşitliği geçerlidir. İstenen A2\mathbf{A}^2 matrisi (3P−2In)2=9P2−12P+4In(3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n)^2 = 9\mathbf{P}^2 - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n şeklinde açılır. İdempotentlik kullanılarak bu ifade −3P+4In-3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n hâline getirilir. İzin lineer özelliği uygulandığında sonuç −3(k)+4(n)=4n−3k-3(k) + 4(n) = 4n - 3k olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İzin döngüsel (cyclic) özelliğini kullanarak P\mathbf{P} matrisinin izini hesapla.
tr(P)=tr(X(XTX)−1XT)=tr((XTX)−1XTX)=tr(Ik)=ktr(\mathbf{P}) = tr(\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T) = tr((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{X}) = tr(\mathbf{I}_k) = k
tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}) kuralı gereği, matris çarpımlarının sırası izin sonucunu değiştirmez.
2
P\mathbf{P} matrisinin idempotent (dik izdüşüm) özelliğini kanıtla.
P2=(X(XTX)−1XT)(X(XTX)−1XT)=X(XTX)−1(XTX)(XTX)−1XT=P\mathbf{P}^2 = (\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T)(\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T) = \mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T = \mathbf{P}
Karesinin izini bulmak için P2\mathbf{P}^2 teriminin sadeleştirilmesi gerekmektedir.
3
A2\mathbf{A}^2 matrisinin cebirsel açılımını yap ve P2=P\mathbf{P}^2 = \mathbf{P} eşitliğini yerine koy.
A2=(3P−2In)2=9P2−12P+4In=9P−12P+4In=−3P+4In\mathbf{A}^2 = (3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n)^2 = 9\mathbf{P}^2 - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n = 9\mathbf{P} - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n = -3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n
Trase işlemi öncesinde matris polinomunun en sade formuna getirilmesi hesaplamayı kolaylaştırır.
4
İz operatörünün doğrusal (lineer) toplam ve skalerle çarpım özelliklerini uygulayarak sonucu bul.
tr(A2)=tr(−3P+4In)=−3tr(P)+4tr(In)=−3(k)+4(n)=4n−3ktr(\mathbf{A}^2) = tr(-3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n) = -3 tr(\mathbf{P}) + 4 tr(\mathbf{I}_n) = -3(k) + 4(n) = 4n - 3k
Bir matris toplamının izi, izlerin toplamına ve skaler çarpımın izi, izin skalerle çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İzin Döngüsel Özelliği ve İdempotent Matrislerde İz İşlemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru