Çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemlerinde (Temel Bileşenler Analizi, Faktör Analiz… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemlerinde (Temel Bileşenler Analizi, Faktör Analizi vb.) varyans-kovaryans matrislerinin özellikleri incelenirken matrisin izi (trace) kavramı sıklıkla kullanılmaktadır.

Bir kare matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanlarının toplamı olarak tanımlanan iz operatörü ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A
Matris çarpımında genel olarak değişme özelliği ( $AB \neq BA$ ) bulunmamasına rağmen, aynı boyutlu $A$ ve $B$ kare matrisleri için $tr(AB) = tr(BA)$ eşitliği her zaman geçerlidir.
B
Bir kare matrisin izi, o matrisin özdeğerlerinin (eigenvalues) toplamına eşittir ve çok değişkenli analizlerde toplam varyansı ifade etmek için kullanılır.
$n \times n$ boyutlu bir $A$ matrisi ve herhangi bir $c$ sabit sayısı (skaler) için $tr(cA) = c^n \cdot tr(A)$ eşitliği sağlanır.Cevap
D
Çarpımları tanımlı ve sonuçları kare matris olan $A$ , $B$ ve $C$ matrisleri için $tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)$ şeklinde döngüsel (cyclic) permütasyon özelliği geçerlidir.
E
İz operatörü doğrusal (lineer) bir operatördür; aynı boyutlu $A$ ve $B$ matrisleri için $tr(A \pm B) = tr(A) \pm tr(B)$ eşitliği sağlanır.

Cevap

Bir matris bir sabit sayı (skaler) ile çarpıldığında, matrisin izi bu sabit sayının n. kuvveti ile değil, doğrudan kendisi ile çarpılır. Bu nedenle c^n çarpanını içeren ifade yanlıştır.

İz (trace) operatörü doğrusal bir operatördür. Bir

A

matrisinin tüm elemanları

c

skaleri ile çarpıldığında, köşegen elemanlarının toplamı da

c

katına çıkar; yani

tr(cA) = c \cdot tr(A)

olur. Yanlış olan seçenekte verilen

c^n

çarpanı, iz operatörüne değil determinant işlemine ait bir özelliktir (

|cA| = c^n \cdot |A|

). Soruda yanlış olan ifade sorulduğu için doğru cevap bu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

Matris izi özelliklerini ve skaler çarpım kuralını değerlendirme

tr(cA)

işleminin sonucunun

c \cdot tr(A)

olduğu belirlenir.

İz operatörü ana köşegen elemanlarının toplamıdır ve matrisin her elemanı c ile çarpıldığında köşegen toplamı da sadece c parantezine alınır.

Seçeneklerdeki ifadelerin determinant özellikleri ile karşılaştırılması

c^n

çarpanının iz operatörüne değil, determinant işlemine (

|cA| = c^n \cdot |A|

) ait olduğu tespit edilir.

Determinant hesabında skaler değer matrisin boyutu (n) kadar çarpan olarak dışarı çıkar. Özelliklerin karıştırıldığı ifade tespit edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru