Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

X\mathbf{X} ve Y\mathbf{Y}, n×nn \times n boyutlu gerçel kare matrislerdir. M=XYT−YXT\mathbf{M} = \mathbf{X}\mathbf{Y}^T - \mathbf{Y}\mathbf{X}^T olmak üzere, matrislerin izleri (trace) ile ilgili aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

- tr(XTX)=25\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{X}) = 25
- tr(YTY)=40\text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{Y}) = 40
- tr((X−3Y)T(X−3Y))=265\text{tr}((\mathbf{X}-3\mathbf{Y})^T(\mathbf{X}-3\mathbf{Y})) = 265

Buna göre, tr(M)\text{tr}(\mathbf{M}) ve tr(XTY)\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0 ve 20Cevap
  2. B
    0 ve 40
  3. C
    40 ve 20
  4. D
    20 ve 20
  5. E
    0 ve -20

Cevap

Doğru yanıt 0 ve 20'dir. Matris izi özelliklerinden faydalanılarak cebirsel açılım yapıldığında çapraz çarpımın izi 20, ters simetrik matris olan M'nin izi ise 0 bulunur.
Doğru seçenekte çapraz terimlerin izi doğrusal olarak açılmış, 99 katlık skaler değeri doğru kullanılmış ve −6tr(XTY)-6\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) katsayısı elde edilerek işlem tamamlanmıştır. Ayrıca ters simetrik bir yapı barındıran M\mathbf{M} matrisinin izinin tr(XYT)−tr(YXT)=20−20=0\text{tr}(\mathbf{X}\mathbf{Y}^T) - \text{tr}(\mathbf{Y}\mathbf{X}^T) = 20 - 20 = 0 olacağı doğru şekilde saptanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen karesel matris ifadesinin transpozesini alarak içini çarpım halinde açın.
(X−3Y)T(X−3Y)=(XT−3YT)(X−3Y)=XTX−3XTY−3YTX+9YTY(\mathbf{X}-3\mathbf{Y})^T(\mathbf{X}-3\mathbf{Y}) = (\mathbf{X}^T - 3\mathbf{Y}^T)(\mathbf{X}-3\mathbf{Y}) = \mathbf{X}^T\mathbf{X} - 3\mathbf{X}^T\mathbf{Y} - 3\mathbf{Y}^T\mathbf{X} + 9\mathbf{Y}^T\mathbf{Y}
Matrisin izini hesaplayabilmek için önce ifadenin doğrusal toplamlar biçiminde yazılması gerekir.
2
Elde edilen açılıma iz operatörünün lineer (doğrusal) olma özelliğini uygulayın.
tr(… )=tr(XTX)−3tr(XTY)−3tr(YTX)+9tr(YTY)\text{tr}(\dots) = \text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{X}) - 3\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) - 3\text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{X}) + 9\text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{Y})
İz, toplamaya ve skaler çarpıma dağılabilir: tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\text{tr}(\mathbf{A}+\mathbf{B}) = \text{tr}(\mathbf{A}) + \text{tr}(\mathbf{B}) ve tr(cA)=ctr(A)\text{tr}(c\mathbf{A}) = c\text{tr}(\mathbf{A}).
3
İz operatörünün transpoze ve döngüsel (cyclic) değişme özelliklerini kullanarak çapraz terimleri birleştirin.
tr(YTX)=tr((YTX)T)=tr(XTY)\text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{X}) = \text{tr}((\mathbf{Y}^T\mathbf{X})^T) = \text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) olduğundan denklem şu hali alır: 265=tr(XTX)−6tr(XTY)+9tr(YTY)265 = \text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{X}) - 6\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) + 9\text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{Y})
Bir matrisin izi ile transpozesinin izi her zaman birbirine eşittir.
4
Verilen değerleri denklemde yerine koyup tr(XTY)\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) değerini çözün.
265=25−6tr(XTY)+9(40)⇒265=385−6tr(XTY)⇒6tr(XTY)=120⇒tr(XTY)=20265 = 25 - 6\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) + 9(40) \Rightarrow 265 = 385 - 6\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) \Rightarrow 6\text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) = 120 \Rightarrow \text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) = 20
Soruda sorulan değerlerden ilki bulunmuş olur.
5
M=XYT−YXT\mathbf{M} = \mathbf{X}\mathbf{Y}^T - \mathbf{Y}\mathbf{X}^T matrisinin izini hesaplayın.
tr(M)=tr(XYT)−tr(YXT)\text{tr}(\mathbf{M}) = \text{tr}(\mathbf{X}\mathbf{Y}^T) - \text{tr}(\mathbf{Y}\mathbf{X}^T). Çarpımın değişme özelliği tr(AB)=tr(BA)\text{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\text{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) gereği, tr(XYT)=tr(YTX)=20\text{tr}(\mathbf{X}\mathbf{Y}^T) = \text{tr}(\mathbf{Y}^T\mathbf{X}) = 20 ve tr(YXT)=tr(XTY)=20\text{tr}(\mathbf{Y}\mathbf{X}^T) = \text{tr}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y}) = 20 bulunur. Buradan tr(M)=20−20=0\text{tr}(\mathbf{M}) = 20 - 20 = 0 elde edilir.
Sorunun diğer bileşeni olan M matrisinin izi, döngüsel özellik sayesinde kolayca sadeleşir.

Anahtar Kavram

İz Operatörünün Lineer Özellikleri ve Döngüsel Permütasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru