\mathbf{A} matrisi, özdeğerleri \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -2 ve \lambda_3 = 4 olan 3 \tim… — KPSS İstatistik

$\mathbf{A}$ matrisi, özdeğerleri $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = -2$ ve $\lambda_3 = 4$ olan $3 \times 3$ boyutlu bir kare matristir.

$\mathbf{B}$ , aynı boyutlu tersinir (tersi alınabilir) bir matris ve $\mathbf{I}_3$ , $3 \times 3$ boyutlu birim matris olmak üzere,

tr(2\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^2\mathbf{B} - 3\mathbf{I}_3)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İfadenin doğru değeri 33'tür.

Verilen ifadede izin döngüsel özelliği kullanıldığında birinci terim

tr(2\mathbf{A}^2)

haline dönüşür.

\mathbf{A}

matrisinin özdeğerleri üzerinden

\mathbf{A}^2

matrisinin izi özdeğerlerin kareleri toplamı olan 21 olarak bulunur. İfadenin ikinci terimi olan birim matrisin izi ise boyutuyla orantılı olarak

3 \times 3 = 9

'dur. Sonuç,

2 \times 21 - 9 = 33

olarak doğru hesaplanmıştır.

İzin doğrusal (lineer) özelliğini kullanarak ifadeyi terimlere ayırma

tr(2\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^2\mathbf{B}) - tr(3\mathbf{I}_3)

İz operatörü toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılabilir:

tr(X - Y) = tr(X) - tr(Y)

İlk terimde izin döngüsel (cyclic) özelliğini kullanma

2 \cdot tr(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^2\mathbf{B}) = 2 \cdot tr(\mathbf{A}^2\mathbf{B}\mathbf{B}^{-1}) = 2 \cdot tr(\mathbf{A}^2\mathbf{I}_3) = 2 \cdot tr(\mathbf{A}^2)

İz operatöründe matris çarpımlarının sırası dairesel olarak değiştirilebilir (

tr(XYZ) = tr(YZX)

) ve skaler dışarı alınabilir.

\mathbf{A}^2

matrisinin izini özdeğerler yardımıyla hesaplama

tr(\mathbf{A}^2) = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 = 1^2 + (-2)^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21

Bir matrisin karesinin özdeğerleri, o matrisin özdeğerlerinin karesine eşittir ve bir matrisin izi özdeğerlerinin toplamıdır.

İkinci terim olan

3\mathbf{I}_3

matrisinin izini hesaplama

tr(3\mathbf{I}_3) = 3 \cdot tr(\mathbf{I}_3) = 3 \cdot (1 + 1 + 1) = 9

Boyutu

3 \times 3

olan birim matrisin izi 3'tür. Skaler ile çarpıldığında iz bu skaler ile çarpılır.

Bulunan değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

2 \cdot 21 - 9 = 42 - 9 = 33

Birinci ve ikinci terimlerin hesaplanan değerlerinin birbirinden çıkarılması gerekir.

İz operatörünün doğrusallığı, döngüsel özelliği ve matrisin kuvvetlerinin özdeğerleri

Soru