Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

A\mathbf{A}, B\mathbf{B} ve C\mathbf{C} matrisleri n×nn \times n boyutlu kare matrisler ve cc bir skaler (gerçel sayı) olmak üzere, matrisin izi (trace) ile ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A})
II. tr(ABC)=tr(BAC)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C})
III. tr(cA)=cn⋅tr(A)tr(c\mathbf{A}) = c^n \cdot tr(\mathbf{A})
IV. A\mathbf{A} matrisinin özdeğerlerinin toplamı, tr(A)tr(\mathbf{A}) değerine eşittir.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

  1. I ve IVCevap
  2. B
    Yalnız I
  3. C
    I, II ve IV
  4. D
    I, III ve IV
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve IV numaralı ifadeler her zaman doğrudur.
I. ifade, iz operatörünün ikili çarpımlardaki değişme (döngüsel) özelliğini, IV. ifade ise iz ile özdeğerler arasındaki temel doğrusal cebir eşitliğini hatasız yansıtmaktadır. II. ifade yanlıştır çünkü üçlü matris çarpımlarında sadece döngüsel sıralamalar birbirine eşittir, rastgele bir değişme özelliği yoktur. III. ifade ise iz operatörü yerine determinant özelliğini (det(cA)=cndet(A)det(c\mathbf{A}) = c^n det(\mathbf{A})) kullandığı için hatalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadenin doğruluğunu kontrol etme
tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}) özelliği daima sağlanır, ifade doğrudur.
İz operatörü matris çarpımında yer değiştirme (döngüsel kaydırma) özelliğine sahiptir.
2
II. ifadenin doğruluğunu değerlendirme
tr(ABC)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) her zaman tr(BAC)tr(\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C}) değerine eşit olmaz, ifade yanlıştır.
Üçlü çarpımlarda iz işlemi sadece döngüsel kaydırmalarda eşittir (tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{A}) = tr(\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{B})). A\mathbf{A} ve B\mathbf{B} rastgele yer değiştiremez.
3
III. ifadenin doğruluğunu inceleme
Eşitlik tr(cA)=c⋅tr(A)tr(c\mathbf{A}) = c \cdot tr(\mathbf{A}) şeklinde olmalıdır, ifade yanlıştır.
Skaler bir değer izin dışına kendisi olarak çıkar; cnc^n çarpanı determinant işlemi (det(cA)=cn⋅det(A)det(c\mathbf{A}) = c^n \cdot det(\mathbf{A})) için geçerlidir.
4
IV. ifadenin doğruluğunu belirleme
İfade her zaman doğrudur.
Bir matrisin izi (esas köşegen elemanlarının toplamı), matematiksel tanımı gereği özdeğerlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru