Bir makine parçasının aşınma süresi (ay) X rastgele değişkeni ile modellenmektedir. X'in o… — KPSS İstatistik

Bir makine parçasının aşınma süresi (ay) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta^2}(\theta - x), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol birimi tarafından rastgele seçilen $n$ adet parçanın aşınma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini oluşturmaktadır.

Buna göre, $\theta$ parametresi için momentler yöntemi kullanılarak elde edilen tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\theta^2}{2n}$ Cevap
B
$\frac{\theta^2}{6n}$
C
$\frac{\theta^2}{18n}$
D
$\frac{3\theta^2}{2n}$
E
$\frac{\theta^2}{3n}$

Cevap

\theta

parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur ve bu tahmin edicinin varyansı

\frac{\theta^2}{2n}

değerine eşittir.

Momentler yöntemi gereği birinci örneklem momenti

\bar{X}

, teorik birinci moment olan

E[X] = \frac{\theta}{3}

ifadesine eşitlenir. Buradan tahmin edici

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur. Bu tahmin edicinin varyansını bulmak için dağılımın kitle varyansı

V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{18}

hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı

V(3\bar{X}) = 9 V(\bar{X}) = 9 \frac{V(X)}{n}

eşitliği kullanılarak

\frac{\theta^2}{2n}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Birinci kitle momentini (

E[X]

) hesaplama

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{\theta}{3}

Momentler yönteminde tahmin ediciyi bulmak için öncelikle teorik kitle momentleri hesaplanmalıdır.

Momentler yöntemi tahmin edicisini (

\tilde{\theta}

) elde etme

\bar{X} = \frac{\tilde{\theta}}{3} \implies \tilde{\theta} = 3\bar{X}

Birinci örneklem momenti (

\bar{X}

) ile birinci kitle momenti (

E[X]

) birbirine eşitlenerek parametre yalnız bırakılır.

Kitle varyansını (

V(X)

) hesaplama

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{\theta^2}{6}

olarak bulunur. Buradan

V(X) = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

elde edilir.

Tahmin edicinin varyansını (

V(3\bar{X})

) bulabilmek için asıl dağılımın varyansının bilinmesi gerekir.

Tahmin edicinin varyansını (

V(\tilde{\theta})

) hesaplama

V(\tilde{\theta}) = V(3\bar{X}) = 9V(\bar{X}) = 9 \cdot \frac{V(X)}{n} = 9 \cdot \frac{\theta^2 / 18}{n} = \frac{\theta^2}{2n}

Varyans operatörünün doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi tahmin edicisinin bulunması ve doğrusal bir fonksiyon olan tahmin edicinin varyansının kitle varyansı yardımıyla hesaplanması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru