Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir siber güvenlik merkezi, sisteme yapılan şüpheli giriş denemelerinin engellenme sürelerini (saniye cinsinden normalize edilmiş olarak) XX rastgele değişkeni ile modellemektedir. XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1} & , 0 < x < 1 \\ 0 & , \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir ve x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n bu dağılımdan çekilmiş nn birimlik rastgele bir örneklemi temsil etmektedir.

Buna göre, θ\theta parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi (θ^MMT\hat{\theta}_{MMT}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. xˉ1−xˉ\frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}Cevap
  2. B
    1−xˉxˉ\frac{1 - \bar{x}}{\bar{x}}
  3. C
    xˉ1+xˉ\frac{\bar{x}}{1 + \bar{x}}
  4. D
    1xˉ\frac{1}{\bar{x}}
  5. E
    1−xˉ1 - \bar{x}

Cevap

Momentler yöntemi tahmin edicisi xˉ1−xˉ\frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}} şeklindedir.
Momentler yönteminde tek bir bilinmeyen parametre (θ\theta) olduğundan, birinci kitle momenti (E[X]E[X]) birinci örneklem momentine (xˉ\bar{x}) eşitlenir. Yoğunluk fonksiyonunun beklenen değeri E[X]=∫01x(θxθ−1)dx=θθ+1E[X] = \int_0^1 x (\theta x^{\theta-1}) dx = \frac{\theta}{\theta+1} olarak bulunur. Bu eşitlik xˉ\bar{x}'e eşitlenip θ\theta yalnız bırakıldığında θ^MMT=xˉ1−xˉ\hat{\theta}_{MMT} = \frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kitle momentinin (beklenen değer) hesaplanması
E[X]=∫01x⋅θxθ−1dx=θ∫01xθdx=θ[xθ+1θ+1]01=θθ+1E[X] = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_0^1 x^\theta dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1}
Momentler yönteminde (MMT) parametre sayısına bağlı olarak kitle momentleri bulunmalıdır. Burada tek parametre olduğu için sadece birinci moment yeterlidir.
2
Birinci kitle momentinin birinci örneklem momentine eşitlenmesi
E[X]=xˉ  ⟹  θθ+1=xˉE[X] = \bar{x} \implies \frac{\theta}{\theta+1} = \bar{x}
Momentler yönteminin temel prensibi, teorik momentleri örneklem momentlerine eşitleyerek parametre tahmini yapmaktır.
3
Denklemden θ\theta parametresinin çekilmesi
θ=xˉ(θ+1)  ⟹  θ=θxˉ+xˉ  ⟹  θ−θxˉ=xˉ  ⟹  θ(1−xˉ)=xˉ  ⟹  θ^MMT=xˉ1−xˉ\theta = \bar{x}(\theta + 1) \implies \theta = \theta\bar{x} + \bar{x} \implies \theta - \theta\bar{x} = \bar{x} \implies \theta(1 - \bar{x}) = \bar{x} \implies \hat{\theta}_{MMT} = \frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}
Kurulan eşitlik çözülerek bilinmeyen parametre tahmin edicisi tek başına bırakılır.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Parametre Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Bu konudan daha fazla soru