Momentler Yöntemi (Method of Moments) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir fabrikada üretilen özel bir sensörün kullanım ömrü (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu sensörlerden rastgele seçilen 5 tanesinin kullanım ömürleri sırasıyla 2,5; 3,1; 4,2; 2,8 ve 3,4 yıl olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemiyle elde edilen tahmin değeri ve bu tahmin edicinin yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Tahmin değeri 3,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 2,5'tir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Tahmin değeri 3,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Cevap

Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.

Kitle ortalaması

E[X] = \theta + 1

olarak bulunur. Birinci örneklem momenti (aritmetik ortalama) ise verilen değerlerin toplanıp

5

'e bölünmesiyle

\bar{X} = 3,2

olarak hesaplanır. Momentler yöntemine göre

\theta + 1 = 3,2

eşitliğinden tahmin değeri

2,2

olarak elde edilir. Ayrıca,

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta

olduğundan bu tahmin edici yansız bir tahmin edicidir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle ortalamasının (beklenen değer) hesaplanması

E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx = \theta + 1

Momentler yöntemi, teorik kitle momentleri ile örneklem momentlerinin eşitlenmesine dayanır.

2

Birinci örneklem momentinin (aritmetik ortalama) hesaplanması

\bar{X} = \frac{2,5 + 3,1 + 4,2 + 2,8 + 3,4}{5} = \frac{16,0}{5} = 3,2

Birinci örneklem momenti aritmetik ortalamadır.

3

Momentler eşitliğinin kurularak parametrenin tahmin edilmesi

\theta + 1 = 3,2 \implies \hat{\theta} = 2,2

\theta

parametresini tahmin etmek için kitle ortalaması ile örneklem ortalaması birbirine eşitlenir.

4

Tahmin edicinin yansızlık durumunun incelenmesi

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta

. Beklenen değer parametrenin kendisine eşit olduğu için yansızdır.

Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin, tahmin edilmek istenen parametreye tam olarak eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Tahmin ve Yansızlık Özelliği

Soru 2Soru →

Bir sigorta şirketinde poliçe sahiplerinin bir yıl içinde yaptıkları kaza sayıları ( $X$ ) incelenmektedir. Poliçe sahiplerinin bir kısmı ("çok dikkatli sürücüler", $p$ olasılığı ile) hiç kaza yapmamakta olup bu gruptan gelen kaza sayısı her zaman sıfırdır. Geriye kalan sürücülerin ( $1-p$ olasılığı ile) kaza sayıları ise $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır.

Buna göre,

X

rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X = 0) = p + (1 - p)e^{-\lambda}

P(X = x) = (1 - p)\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Rastgele seçilen $n$ sürücünün kaza sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, örneklem momentleri $M_1 = \bar{X}$ ve $M_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$ kullanıldığında, $p$ ve $\lambda$ parametrelerinin momentler yöntemi tahmin edicileri ( $\tilde{p}, \tilde{\lambda}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2}{M_2}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2 - M_1}{M_2 - M_1^2}, \quad \tilde{\lambda} = M_2 - M_1^2

\tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

\tilde{p} = \frac{M_1^2 + M_1 - M_2}{M_1^2 + M_1}, \quad \tilde{\lambda} = M_1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}$

Cevap

Doğru tahmin ediciler

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

ve

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

eşitliklerini veren seçenektir.

Sıfır şişirilmiş (zero-inflated) Poisson dağılımının birinci momenti

E[X] = (1-p)\lambda

ve ikinci momenti

E[X^2] = (1-p)(\lambda^2+\lambda)

'dır. Bu teorik momentleri sırasıyla

M_1

ve

M_2

örneklem momentlerine eşitleyip elde edilen

M_1 = (1-p)\lambda

ve

M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1)

denklemleri ortak çözüldüğünde; ikinci denklemin

M_2 = M_1(\lambda + 1)

olarak yazılabilmesiyle

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konulduğunda

1 - \tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}

bulunur ve buradan

\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin birinci teorik momentini hesapla.

E[X] = p(0) + (1-p)E[Y] = (1-p)\lambda

, (burada

Y \sim Poisson(\lambda)

)

Momentler yöntemi için öncelikle kitlenin beklenen değerini parametreler cinsinden bulmalıyız.

2

Kitlenin ikinci teorik momentini hesapla.

E[X^2] = p(0^2) + (1-p)E[Y^2]

. Poisson dağılımı için

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = \lambda + \lambda^2

olduğundan

E[X^2] = (1-p)(\lambda^2 + \lambda)

bulunur.

İki bilinmeyenli (

p, \lambda

) tahmin işlemi için ikinci momente de ihtiyaç vardır.

3

Teorik momentleri örneklem momentlerine eşitle.

M_1 = (1-p)\lambda

ve

M_2 = (1-p)(\lambda^2 + \lambda)

denklemleri elde edilir.

Momentler yönteminin temel prensibi örneklem momentlerini (M_k) kitle momentlerine (E[X^k]) eşitlemektir.

4

Denklem sistemini çözerek

\tilde{\lambda}

tahmin edicisini bul.

İkinci denklem

M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1) = M_1(\lambda + 1)

şeklinde yazılabilir. Buradan

\lambda + 1 = \frac{M_2}{M_1}

ve

\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}

elde edilir.

Birinci denklemi ikinci denklemde yerine koyarak bilinmeyen sayısı teke düşürülür.

5

Bulunan

\tilde{\lambda}

değerini yerine koyarak

\tilde{p}

tahmin edicisini bul.

1 - p = \frac{M_1}{\tilde{\lambda}} = \frac{M_1}{(M_2 - M_1)/M_1} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}

. Buradan

\tilde{p} = 1 - \frac{M_1^2}{M_2 - M_1} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}

bulunur.

Birinci denklemden

1-p

çekilerek,

\lambda

yerine konur ve

p

parametresinin nihai tahmin edicisine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sıfır Şişirilmiş (Zero-Inflated) Dağılımlarda Momentler Yöntemi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3Soru →

Bir makine parçasının aşınma süresi (ay) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta^2}(\theta - x), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol birimi tarafından rastgele seçilen $n$ adet parçanın aşınma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini oluşturmaktadır.

Buna göre, $\theta$ parametresi için momentler yöntemi kullanılarak elde edilen tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{2n}

\frac{\theta^2}{6n}

\frac{\theta^2}{18n}

\frac{3\theta^2}{2n}

\frac{\theta^2}{3n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta^2}{2n}$

Cevap

\theta

parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur ve bu tahmin edicinin varyansı

\frac{\theta^2}{2n}

değerine eşittir.

Momentler yöntemi gereği birinci örneklem momenti

\bar{X}

, teorik birinci moment olan

E[X] = \frac{\theta}{3}

ifadesine eşitlenir. Buradan tahmin edici

\tilde{\theta} = 3\bar{X}

olarak bulunur. Bu tahmin edicinin varyansını bulmak için dağılımın kitle varyansı

V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{18}

hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı

V(3\bar{X}) = 9 V(\bar{X}) = 9 \frac{V(X)}{n}

eşitliği kullanılarak

\frac{\theta^2}{2n}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci kitle momentini (

E[X]

) hesaplama

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{\theta}{3}

Momentler yönteminde tahmin ediciyi bulmak için öncelikle teorik kitle momentleri hesaplanmalıdır.

2

Momentler yöntemi tahmin edicisini (

\tilde{\theta}

) elde etme

\bar{X} = \frac{\tilde{\theta}}{3} \implies \tilde{\theta} = 3\bar{X}

Birinci örneklem momenti (

\bar{X}

) ile birinci kitle momenti (

E[X]

) birbirine eşitlenerek parametre yalnız bırakılır.

3

Kitle varyansını (

V(X)

) hesaplama

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) dx = \frac{\theta^2}{6}

olarak bulunur. Buradan

V(X) = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

elde edilir.

Tahmin edicinin varyansını (

V(3\bar{X})

) bulabilmek için asıl dağılımın varyansının bilinmesi gerekir.

4

Tahmin edicinin varyansını (

V(\tilde{\theta})

) hesaplama

V(\tilde{\theta}) = V(3\bar{X}) = 9V(\bar{X}) = 9 \cdot \frac{V(X)}{n} = 9 \cdot \frac{\theta^2 / 18}{n} = \frac{\theta^2}{2n}

Varyans operatörünün doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi tahmin edicisinin bulunması ve doğrusal bir fonksiyon olan tahmin edicinin varyansının kitle varyansı yardımıyla hesaplanması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir tarım araştırma enstitüsünde, yeni geliştirilen bir buğday türünün belirli bir alandaki verimi (ton) $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Bu verimin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buğday verimine ilişkin $n$ çaplı rastgele bir örneklem alındığında, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (Method of Moments) ile elde edilen tahmin edicisi ( $\hat{\theta}_{MoM}$ ) aşağıdakilerden hangisidir? ( $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

\frac{2\bar{X}}{3}

2\bar{X}

\frac{3\bar{X}}{2}

3\bar{X}

\sqrt{2\bar{X}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3\bar{X}}{2}$

Cevap

\frac{3\bar{X}}{2}

Momentler yönteminde tahmin edici bulmak için

E[X] = \bar{X}

eşitliği kullanılır. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için beklenen değer

E[X] = \int_0^\theta x f(x) dx = \int_0^\theta x \left(\frac{2x}{\theta^2}\right) dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2\theta}{3}

olarak bulunur. Bu değer örneklem ortalaması olan

\bar{X}

'e eşitlendiğinde

\frac{2\theta}{3} = \bar{X}

denklemi elde edilir. Buradan parametre çekildiğinde momentler yöntemi tahmin edicisi

\hat{\theta}_{MoM} = \frac{3\bar{X}}{2}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitleye ait birinci momenti (beklenen değeri) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2\theta}{3}

Momentler yönteminde ilk adım, teorik kitle momentlerini bulmaktır.

2

Birinci kitle momentini birinci örneklem momentine (

\bar{X}

) eşitleyin.

\frac{2\theta}{3} = \bar{X}

Yöntemin temel prensibi, bilinmeyen parametreyi tahmin etmek için

E[X] = \bar{X}

eşitliğini kurmaktır.

3

Elde edilen denklemde bilinmeyen

\theta

parametresini yalnız bırakın.

\hat{\theta}_{MoM} = \frac{3\bar{X}}{2}

Eşitlikten parametrenin tahmin edicisine matematiksel olarak ulaşılır.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, kitlenin teorik momentleri ile örneklemin ampirik momentlerinin birbirine eşitlenmesi esasına dayanır. Tek parametreli bir dağılım için yalnızca birinci momentlerin (beklenen değer ve örneklem ortalaması) hesaplanıp eşitlenmesi yeterlidir.

Soru 5Soru →

Bir siber güvenlik merkezi, sisteme yapılan şüpheli giriş denemelerinin engellenme sürelerini (saniye cinsinden normalize edilmiş olarak) $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1} & , 0 < x < 1 \\ 0 & , \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir ve $x_1, x_2, \dots, x_n$ bu dağılımdan çekilmiş $n$ birimlik rastgele bir örneklemi temsil etmektedir.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi ( $\hat{\theta}_{MMT}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}

\frac{1 - \bar{x}}{\bar{x}}

\frac{\bar{x}}{1 + \bar{x}}

\frac{1}{\bar{x}}

1 - \bar{x}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}$

Cevap

Momentler yöntemi tahmin edicisi

\frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}

şeklindedir.

Momentler yönteminde tek bir bilinmeyen parametre (

\theta

) olduğundan, birinci kitle momenti (

E[X]

) birinci örneklem momentine (

\bar{x}

) eşitlenir. Yoğunluk fonksiyonunun beklenen değeri

E[X] = \int_0^1 x (\theta x^{\theta-1}) dx = \frac{\theta}{\theta+1}

olarak bulunur. Bu eşitlik

\bar{x}

'e eşitlenip

\theta

yalnız bırakıldığında

\hat{\theta}_{MMT} = \frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci kitle momentinin (beklenen değer) hesaplanması

E[X] = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_0^1 x^\theta dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1}

Momentler yönteminde (MMT) parametre sayısına bağlı olarak kitle momentleri bulunmalıdır. Burada tek parametre olduğu için sadece birinci moment yeterlidir.

2

Birinci kitle momentinin birinci örneklem momentine eşitlenmesi

E[X] = \bar{x} \implies \frac{\theta}{\theta+1} = \bar{x}

Momentler yönteminin temel prensibi, teorik momentleri örneklem momentlerine eşitleyerek parametre tahmini yapmaktır.

3

Denklemden

\theta

parametresinin çekilmesi

\theta = \bar{x}(\theta + 1) \implies \theta = \theta\bar{x} + \bar{x} \implies \theta - \theta\bar{x} = \bar{x} \implies \theta(1 - \bar{x}) = \bar{x} \implies \hat{\theta}_{MMT} = \frac{\bar{x}}{1 - \bar{x}}

Kurulan eşitlik çözülerek bilinmeyen parametre tahmin edicisi tek başına bırakılır.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Parametre Tahmini

Soru 6Soru →

Bir otonom aracın direksiyon açısındaki sapma hataları (derece cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistemin kalibrasyonu gereği bu hataların $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform dağılım) sahip olduğu varsayılmaktadır. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Rastgele seçilen $n$ adet sapma hatası ölçümü $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi $\tilde{\theta}$ aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada $M_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ , örneklemin $k$ . momentini göstermektedir.)

\sqrt{3 M_2}

\sqrt{12 M_2}

2 M_1

\sqrt{\frac{M_2}{3}}

3 M_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{3 M_2}$

Cevap

Momentler yöntemi tahmin edicisi

\sqrt{3 M_2}

ifadesidir.

Momentler yönteminde temel kural, kitlenin teorik momentlerini örneklemin momentlerine eşitleyerek parametreleri çekmektir.

U(-\theta, \theta)

dağılımında birinci kitle momenti (beklenen değer)

E[X] = 0

'dır ve

\theta

parametresini içermez. Bu nedenle birinci momentten tahmin yapılamaz ve ikinci momente geçilir. Dağılımın ikinci kitle momenti

E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \frac{(\theta - (-\theta))^2}{12} + 0 = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}

şeklindedir. Bu değer, ikinci örneklem momenti olan

M_2

'ye eşitlendiğinde

\frac{\theta^2}{3} = M_2

denklemi elde edilir. Buradan

\theta

çekilerek

\tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci kitle momentinin (beklenen değer) hesaplanması.

E[X] = \frac{-\theta + \theta}{2} = 0

bulunur.

Dağılım orijine göre simetrik olduğu için beklenen değer sıfırdır ve bilinmeyen

\theta

parametresi hakkında bilgi vermez. Bu nedenle ikinci momente geçilmelidir.

2

İkinci kitle momentinin hesaplanması.

E[X^2] = \int_{-\theta}^{\theta} x^2 \frac{1}{2\theta} dx = \frac{1}{2\theta} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\theta}^{\theta} = \frac{\theta^2}{3}

olarak hesaplanır.

Parametreyi tahmin edebilmek için, parametreyi içeren en küçük dereceli sıfırdan farklı momente ihtiyaç vardır.

3

Kitle momenti ile örneklem momentinin eşitlenmesi ve tahmin edicinin çekilmesi.

\frac{\theta^2}{3} = M_2 \implies \theta^2 = 3 M_2 \implies \tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

elde edilir.

Momentler yönteminin temel prensibi gereği kitle momenti, karşılık gelen örneklem momentine (

M_2

) eşitlenerek denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ve Beklenen Değeri Sıfır Olan Dağılımlarda Parametre Tahmini

Soru 7Soru →

Bir bölgedeki kamu projelerinin tamamlanma süreleri (ay cinsinden), $\alpha$ (şekil) ve $\beta$ (ölçek) parametreli bir Gamma dağılımı ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, $n$ adet projenin tamamlanma sürelerini rastgele seçerek birinci örneklem momentini $m_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ve ikinci örneklem momentini $m_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ olarak hesaplamıştır.

Gamma dağılımının beklenen değeri $E(X) = \alpha\beta$ ve varyansı $Var(X) = \alpha\beta^2$ olduğuna göre, $\alpha$ parametresi için momentler yöntemi tahmin edicisi ( $\hat{\alpha}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

\frac{m_2 - m_1^2}{m_1}

\frac{m_1^2}{m_2}

\frac{m_2 - m_1^2}{m_1^2}

\frac{m_1}{m_2 - m_1^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}$

Cevap

\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

ifadesi

\alpha

parametresi için doğru momentler yöntemi tahmin edicisidir.

Momentler yönteminde, parametre sayısı kadar kitle momenti örneklem momentine eşitlenerek denklem sistemi çözülür. Gamma dağılımı için teorik momentler hesaplandığında;

E(X) = \alpha\beta = m_1

ve

E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2

denklemleri kurulur. Birinci denklemden çekilen

\beta = m_1/\alpha

ifadesi ikinci denklemde yerine konup işlemler sadeleştirildiğinde doğrudan

\alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle momentlerini dağılımın parametreleri cinsinden ifade edin.

E(X) = \alpha\beta

ve

E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2

Momentler yönteminde öncelikle teorik kitle momentleri yazılmalıdır.

2

Birinci ve ikinci kitle momentlerini örneklem momentlerine (

m_1

ve

m_2

) eşitleyin.

1)

\alpha\beta = m_1

2)

\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2

Parametreleri tahmin edebilmek için teorik momentler ile hesaplanan örneklem momentleri eşitlenir.

3

Oluşan denklem sisteminde

\beta

'yı yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine yazın.

Birinci denklemden

\beta = \frac{m_1}{\alpha}

bulunur. İkinci denklemde yerine yazılırsa:

\alpha\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 + \alpha^2\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 = m_2

Sistemdeki iki bilinmeyenden birini yok ederek

\alpha

'yı tek bilinmeyen olarak elde etmek için.

4

Elde edilen son denklemi

\alpha

için çözün.

\frac{m_1^2}{\alpha} + m_1^2 = m_2 \implies \frac{m_1^2}{\alpha} = m_2 - m_1^2 \implies \alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

İstenilen

\alpha

parametresinin tahmin edicisini açık formda matematiksel olarak yazmak için.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Tahmin (Method of Moments Estimation)

Soru 8Soru →

Bir kamu denetçisi, bir üretim tesisindeki hatalı parçaların sayısını ( $X$ ) incelemektedir. Yapılan teknik analizler sonucunda $X$ rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu varsayılmaktadır:

$x$	$P(X=x)$
$0$	$\theta^2$
$1$	$2\theta(1-\theta)$
$2$	$(1-\theta)^2$

Burada $\theta \in (0, 1)$ bilinmeyen bir parametredir. $n$ birimlik rastgele bir örneklemden elde edilen örneklem ortalaması $\bar{X}$ olduğuna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

1 - \frac{\bar{X}}{2}

2 - \bar{X}

\frac{\bar{X}}{2}

1 - \bar{X}

\sqrt{1 - \bar{X}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1 - \frac{\bar{X}}{2}$

Cevap

Momentler yöntemi ile elde edilen tahmin edici

1 - \frac{\bar{X}}{2}

ifadesidir.

Doğru tahmin ediciyi bulmak için önce kitle beklenen değeri hesaplanır.

E[X] = \sum x P(X=x)

formülünden

E[X] = 2 - 2\theta

elde edilir. Momentler yöntemi gereği

E[X] = \bar{X}

eşitliği kurulduğunda,

2 - 2\hat{\theta} = \bar{X}

denkleminden

\hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin ilk teorik momentini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot (2\theta - 2\theta^2) + 2 \cdot (1 - 2\theta + \theta^2) = 2 - 2\theta

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenti, her değerin kendi olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

2

Teorik momenti örneklem momentine (

m_1 = \bar{X}

) eşitleyiniz.

2 - 2\hat{\theta} = \bar{X}

Momentler yönteminin temel prensibi, kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemektir.

3

Eşitlikten bilinmeyen parametreyi (

\hat{\theta}

) çekiniz.

2\hat{\theta} = 2 - \bar{X} \Rightarrow \hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2}

Elde edilen denklemde parametre, gözlemlenebilir istatistik olan örneklem ortalaması cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini (

E[X^k]

) karşılık gelen örneklem momentlerine (

m_k = \frac{1}{n}\sum X_i^k

) eşitleyerek parametre tahmini yapar.

Alternatif Yöntem

Bu dağılımın

Y = 2 - X

dönüşümü yapıldığında

Y \sim \text{Binomial}(2, \theta)

olduğu görülebilir. Binom dağılımında

E[Y] = 2\theta

olduğundan,

E[2-X] = 2 - E[X] = 2\theta

eşitliği yazılarak daha hızlı sonuca gidilebilir.

Tahmini Süre:1m 45s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunda işlem sırası bekleyen vatandaşların bekleme süreleri (dakika), beklenen değeri $E[X] = \theta$ olan bir üstel dağılıma uymaktadır. Bu kurumdan tesadüfi olarak seçilen 4 vatandaşın bekleme süreleri $10, 15, 20$ ve $15$ dakika olarak kaydedilmiştir. Momentler yöntemine göre $\theta$ parametresinin tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12

15

20

60

1/15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Momentler yöntemiyle elde edilen tahmini değer

15

dakikadır.

Verilen gözlem değerlerinin ortalaması

15

olarak hesaplanır ve bu değer kitle beklenen değeri olan

\theta

parametresine doğrudan eşitlendiğinde doğru tahmin değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem momentinin (birinci örneklem momenti veya örneklem ortalaması) hesaplanması

m_1 = \bar{x} = \frac{10 + 15 + 20 + 15}{4} = \frac{60}{4} = 15

Momentler yönteminde kitle momentleri örneklem momentlerine eşitlenir.

2

Birinci kitle momentinin (

E[X]

) birinci örneklem momentine (

m_1

) eşitlenmesi

E[X] = m_1 \Rightarrow \theta = 15

Soruda verilen dağılımın beklenen değeri doğrudan parametreye eşit olduğu için denklik kurulur.

3

Parametre tahmin edicisinin değerinin belirlenmesi

\hat{\theta} = 15

Elde edilen denklemin çözümü aranan tahmini değeri verir.

Anahtar Kavram

Momentler yönteminde, kitlenin teorik momentleri ile örneklemden elde edilen momentler birbirine eşitlenerek parametre tahminleri elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir dağılımda (örneğin Poisson) varyansın momentler yöntemiyle nasıl tahmin edileceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir kamu hastanesinde poliklinik hizmeti alan hastaların muayene süreleri (dakika cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile temsil edilmektedir. $X$ değişkeninin $[0, \theta+6]$ aralığında düzgün (üniform) dağılım gösterdiği varsayılmaktadır.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi ( $\hat{\theta}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

2\bar{X} - 6

\bar{X} - 6

2\bar{X} + 6

\frac{\bar{X}}{2} - 3

2\bar{X} - 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\bar{X} - 6$

Cevap

2\bar{X} - 6

ifadesi

\theta

parametresi için momentler yöntemi tahmin edicisidir.

Düzgün dağılımın beklenen değeri aralığın orta noktasıdır.

[0, \theta+6]

aralığı için bu değer

(\theta+6)/2

olur. Momentler yöntemi gereği bu ifade örneklem ortalaması olan

\bar{X}

'e eşitlendiğinde ve

\theta

yalnız bırakıldığında

2\bar{X} - 6

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin teorik beklenen değerini (

E[X]

) belirleyin.

X \sim U(0, \theta+6)

olduğu için

E[X] = \frac{0 + (\theta+6)}{2} = \frac{\theta+6}{2}

Düzgün dağılımda beklenen değer, alt ve üst sınırın toplamının yarısıdır.

2

Momentler yöntemi ilkesine göre teorik momenti örneklem momentine eşitleyin.

\frac{\hat{\theta}+6}{2} = \bar{X}

Momentler yöntemi, kitlenin birinci momentini örneklem ortalamasına eşitleyerek tahmin edici elde eder.

3

Eşitliği bilinmeyen

\hat{\theta}

parametresi için çözün.

\hat{\theta}+6 = 2\bar{X} \Rightarrow \hat{\theta} = 2\bar{X} - 6

Parametreyi yalnız bırakmak için cebirsel işlemler uygulanır.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, kitle momentlerinin karşılık gelen örneklem momentlerine eşitlenmesi esasına dayanır.

Daha Fazla Pratik

Üniform dağılımın

[\theta, \theta+10]

gibi iki ucu da bilinmeyen parametreye bağlı olduğu durumlar için momentler yöntemini tekrar edebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, gelen destek taleplerinin yanıtlanma süresi ( $X$ , saat cinsinden) bir rastgele değişken olup beklenen değeri $E[X] = 2\theta$ olarak ifade edilmektedir. Merkezden rastgele seçilen 5 talebin yanıtlanma süreleri aşağıda verilmiştir:

3, 5, 2, 6, 4

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) ile elde edilen nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

2

4

8

20

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

\theta

parametresinin momentler yöntemi tahmini 2 olarak hesaplanır.

Verilen örneklem verilerinin aritmetik ortalaması 4'tür. Momentler yöntemi gereği kitlenin birinci momenti olan

E[X] = 2\theta

ifadesi bu ortalamaya eşitlenir (

2\theta = 4

). Buradan

\theta

tahmini 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamasının (

\bar{x}

) hesaplanması

\bar{x} = \frac{3 + 5 + 2 + 6 + 4}{5} = \frac{20}{5} = 4

Momentler yönteminde birinci örneklem momenti, verilerin aritmetik ortalamasıdır.

2

Kitle momenti ile örneklem momentinin eşitlenmesi

E[X] = \bar{x} \Rightarrow 2\theta = 4

Momentler yöntemi, teorik beklenen değerin gözlemlenen ortalamaya eşitlenmesi ilkesine dayanır.

3

Bilinmeyen parametrenin (

\theta

) yalnız bırakılması

\hat{\theta} = \frac{4}{2} = 2

Eşitlik çözülerek parametrenin nokta tahmin edicisi elde edilir.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi (MoM), bir dağılımın parametrelerini tahmin etmek için kitle momentlerini (beklenen değerleri) ilgili örneklem momentlerine (ortalama vb.) eşitleyen bir istatistiksel yöntemdir.

Soru 12Soru →

Bir belediyenin fen işleri müdürlüğü, şehir merkezindeki kaldırımların genişliğini ( $X$ , metre cinsinden) incelemektedir. $X$ rastgele değişkeninin $0$ ile $\theta+1$ aralığında düzgün (üniform) dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Örneklem olarak seçilen 4 kaldırımın genişliği $1,5$ ; $2,5$ ; $3,0$ ve $1,0$ metre olarak ölçülmüştür. Momentler yöntemi kullanılarak elde edilen $\theta$ parametresinin tahmin değeri kaçtır?

1,5

2,0

3,0

4,0

5,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,0

Cevap

Momentler yöntemiyle elde edilen tahmin değeri 3,0'dır.

Doğru cevap olan 3,0 değeri, örneklem ortalaması (

2,0

) ile düzgün dağılımın teorik ortalaması olan

(\theta+1)/2

ifadesinin birbirine eşitlenmesiyle elde edilir. Bu eşitlikten

\theta+1 = 4

ve dolayısıyla

\theta = 3

sonucu çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesaplayın.

\bar{x} = \frac{1,5 + 2,5 + 3,0 + 1,0}{4} = \frac{8,0}{4} = 2,0

Momentler yönteminde birinci örneklem momenti, verilerin aritmetik ortalamasıdır.

2

Kitlenin teorik beklenen değerini (

E[X]

)

\theta

cinsinden yazın.

E[X] = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + (\theta+1)}{2} = \frac{\theta+1}{2}

Düzgün dağılımda beklenen değer, aralık uç noktalarının ortalamasıdır.

3

Örneklem momentini kitle momentine eşitleyerek

\theta

için çözün.

\frac{\theta+1}{2} = 2,0 \Rightarrow \theta+1 = 4,0 \Rightarrow \theta = 3,0

Momentler yönteminin temel prensibi kitle ve örneklem momentlerinin birbirine eşitlenmesidir.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

X_1, X_2, \dots, X_n

bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilen bir kitleden

n

birimlik bir örneklem çekilmiştir.

\theta > 0

bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi ( $\hat{\theta}_{MoM}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

\frac{1 - \bar{X}}{\bar{X}}

\frac{1}{\bar{X}}

\bar{X}

\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{1 - \sum_{i=1}^{n} X_i}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}$

Cevap

Momentler yöntemi tahmin edicisi

\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

olarak bulunur.

Momentler yöntemi, dağılıma ait teorik momentlerin ilgili örneklem momentlerine eşitlenmesi esasına dayanır. Çözüm için öncelikle

E[X]

hesaplanır. Yoğunluk fonksiyonu

f(x) = \theta x^{\theta-1}

olduğu için

E[X] = \int_0^1 \theta x^\theta dx = \frac{\theta}{\theta+1}

olarak bulunur. Momentler yöntemine göre birinci teorik moment, birinci örneklem momentine (örneklem ortalaması olan

\bar{X}

) eşitlenmelidir.

\frac{\theta}{\theta+1} = \bar{X}

denklemi

\theta

için çözüldüğünde;

\theta = \bar{X}\theta + \bar{X} \implies \theta(1 - \bar{X}) = \bar{X}

ve nihayetinde

\hat{\theta}_{MoM} = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin birinci teorik momentini (

E[X]

) hesaplamak için olasılık yoğunluk fonksiyonunu

x

ile çarparak tanım aralığında integralini alın.

E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_{0}^{1} x^{\theta} dx

Momentler yönteminin ilk aşaması, dağılımın kitleye ait teorik momentlerini parametre cinsinden bulmaktır.

2

İntegral işlemini tamamlayın.

E[X] = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta}{\theta+1}

Belirli integralin sınırları yerine konularak

E[X]

'in parametreye bağlı kesin matematiksel ifadesi elde edilir.

3

Birinci teorik momenti (

E[X]

), birinci örneklem momentine (

m_1 = \bar{X}

) eşitleyin.

\frac{\theta}{\theta+1} = \bar{X}

Momentler yönteminin temel prensibi; bilinmeyen parametreleri bulmak için kitle momentlerini, örneklemden hesaplanan karşılık gelen momentlere eşitlemektir.

4

Elde edilen denklemi bilinmeyen

\theta

parametresi için çözerek tahmin ediciyi (

\hat{\theta}

) bulun.

\theta = \bar{X}(\theta + 1) \implies \theta - \theta\bar{X} = \bar{X} \implies \theta(1 - \bar{X}) = \bar{X} \implies \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

Denklemde tahmin edilecek parametre yalnız bırakılarak momentler yöntemi tahmin edicisinin formülü nihai olarak türetilir.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Parametre Tahmini

Alternatif Yöntem

Aynı dağılım için En Çok Olabilirlik Yöntemi (MLE) kullanıldığında, log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden türev alınır ve

\hat{\theta}_{MLE} = -\frac{n}{\sum \ln(X_i)}

elde edilir. Bu durum, aynı parametre için momentler yöntemi ile en çok olabilirlik yönteminin farklı tahmin ediciler verebileceğinin klasik bir göstergesidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumu, belirli bir teşvik programından yararlanan işletmelerin yıllık vergi matrahlarını (milyon TL cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 1$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu kuruma başvuran işletmelerden rastgele seçilen $n$ tanesinin vergi matrahları $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde gözlemlenmiştir.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ örneklem ortalamasını göstermektedir.)

\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

\frac{1}{\bar{X}-1}

\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

\frac{\bar{X}-1}{\bar{X}}

\frac{\bar{X}}{\bar{X}+1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$

Cevap

\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

Momentler yönteminde ilk adım kitlenin beklenen değerini bulmaktır. Verilen Pareto benzeri dağılım için

E[X] = \frac{\theta}{\theta-1}

olarak hesaplanır. Daha sonra bu teorik moment, birinci örneklem momentine (

\bar{X}

) eşitlenir. Kurulan

\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X}

denklemi

\theta

için çözüldüğünde

\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın birinci teorik momentini (beklenen değerini) hesaplayın.

E[X] = \int_{1}^{\infty} x \frac{\theta}{x^{\theta+1}} dx = \theta \int_{1}^{\infty} x^{-\theta} dx = \left. \theta \left( \frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1} \right) \right|_{1}^{\infty} = 0 - \left( \frac{\theta}{1-\theta} \right) = \frac{\theta}{\theta-1}

Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemeye dayanır. Bu yüzden ilk adım birinci kitle momentini bulmaktır.

2

Bulunan birinci teorik momenti, birinci örneklem momenti olan örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) eşitleyin.

\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X}

Momentler yönteminin temel denklemi

E[X] = \bar{X}

eşitliğini kurmaktır.

3

Elde edilen denklemde bilinmeyen

\theta

parametresini yalnız bırakarak tahmin ediciyi bulun.

\theta = \bar{X}(\theta-1) \implies \theta = \bar{X}\theta - \bar{X} \implies \bar{X} = \bar{X}\theta - \theta \implies \bar{X} = \theta(\bar{X}-1) \implies \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

Parametreyi yalnız bıraktığımızda momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, kitlenin bilinmeyen parametrelerini tahmin etmek için kitlenin teorik momentleri ile örneklemin hesaplanan momentlerini birbirine eşitleyen bir parametre tahmin yöntemidir.

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar