Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir fabrikada üretilen özel bir sensörün kullanım ömrü (yıl cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)={e−(x−θ),x>θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu sensörlerden rastgele seçilen 5 tanesinin kullanım ömürleri sırasıyla 2,5; 3,1; 4,2; 2,8 ve 3,4 yıl olarak ölçülmüştür.

Buna göre, θ\theta parametresinin momentler yöntemiyle elde edilen tahmin değeri ve bu tahmin edicinin yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    Tahmin değeri 3,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.
  2. B
    Tahmin değeri 2,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.
  3. Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.Cevap
  4. D
    Tahmin değeri 2,5'tir ve yanlı bir tahmin edicidir.
  5. E
    Tahmin değeri 3,2'dir ve yanlı bir tahmin edicidir.

Cevap

Tahmin değeri 2,2'dir ve yansız bir tahmin edicidir.
Kitle ortalaması E[X]=θ+1E[X] = \theta + 1 olarak bulunur. Birinci örneklem momenti (aritmetik ortalama) ise verilen değerlerin toplanıp 55'e bölünmesiyle Xˉ=3,2\bar{X} = 3,2 olarak hesaplanır. Momentler yöntemine göre θ+1=3,2\theta + 1 = 3,2 eşitliğinden tahmin değeri 2,22,2 olarak elde edilir. Ayrıca, E[θ^]=E[Xˉ−1]=E[Xˉ]−1=(θ+1)−1=θE[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta olduğundan bu tahmin edici yansız bir tahmin edicidir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle ortalamasının (beklenen değer) hesaplanması
E[X]=∫θ∞xe−(x−θ)dx=θ+1E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx = \theta + 1
Momentler yöntemi, teorik kitle momentleri ile örneklem momentlerinin eşitlenmesine dayanır.
2
Birinci örneklem momentinin (aritmetik ortalama) hesaplanması
Xˉ=2,5+3,1+4,2+2,8+3,45=16,05=3,2\bar{X} = \frac{2,5 + 3,1 + 4,2 + 2,8 + 3,4}{5} = \frac{16,0}{5} = 3,2
Birinci örneklem momenti aritmetik ortalamadır.
3
Momentler eşitliğinin kurularak parametrenin tahmin edilmesi
θ+1=3,2  ⟹  θ^=2,2\theta + 1 = 3,2 \implies \hat{\theta} = 2,2
θ\theta parametresini tahmin etmek için kitle ortalaması ile örneklem ortalaması birbirine eşitlenir.
4
Tahmin edicinin yansızlık durumunun incelenmesi
E[θ^]=E[Xˉ−1]=E[Xˉ]−1=(θ+1)−1=θE[\hat{\theta}] = E[\bar{X} - 1] = E[\bar{X}] - 1 = (\theta + 1) - 1 = \theta. Beklenen değer parametrenin kendisine eşit olduğu için yansızdır.
Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin, tahmin edilmek istenen parametreye tam olarak eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Tahmin ve Yansızlık Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Bu konudan daha fazla soru