Bir otonom aracın direksiyon açısındaki sapma hataları (derece cinsinden) X rastgele değiş… — KPSS İstatistik

Bir otonom aracın direksiyon açısındaki sapma hataları (derece cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistemin kalibrasyonu gereği bu hataların $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform dağılım) sahip olduğu varsayılmaktadır. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Rastgele seçilen $n$ adet sapma hatası ölçümü $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi $\tilde{\theta}$ aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada $M_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ , örneklemin $k$ . momentini göstermektedir.)

$\sqrt{3 M_2}$ Cevap
B
$\sqrt{12 M_2}$
C
$2 M_1$
D
$\sqrt{\frac{M_2}{3}}$
E
$3 M_2$

Cevap

Momentler yöntemi tahmin edicisi

\sqrt{3 M_2}

ifadesidir.

Momentler yönteminde temel kural, kitlenin teorik momentlerini örneklemin momentlerine eşitleyerek parametreleri çekmektir.

U(-\theta, \theta)

dağılımında birinci kitle momenti (beklenen değer)

E[X] = 0

'dır ve

\theta

parametresini içermez. Bu nedenle birinci momentten tahmin yapılamaz ve ikinci momente geçilir. Dağılımın ikinci kitle momenti

E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \frac{(\theta - (-\theta))^2}{12} + 0 = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}

şeklindedir. Bu değer, ikinci örneklem momenti olan

M_2

'ye eşitlendiğinde

\frac{\theta^2}{3} = M_2

denklemi elde edilir. Buradan

\theta

çekilerek

\tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Birinci kitle momentinin (beklenen değer) hesaplanması.

E[X] = \frac{-\theta + \theta}{2} = 0

bulunur.

Dağılım orijine göre simetrik olduğu için beklenen değer sıfırdır ve bilinmeyen

\theta

parametresi hakkında bilgi vermez. Bu nedenle ikinci momente geçilmelidir.

İkinci kitle momentinin hesaplanması.

E[X^2] = \int_{-\theta}^{\theta} x^2 \frac{1}{2\theta} dx = \frac{1}{2\theta} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\theta}^{\theta} = \frac{\theta^2}{3}

olarak hesaplanır.

Parametreyi tahmin edebilmek için, parametreyi içeren en küçük dereceli sıfırdan farklı momente ihtiyaç vardır.

Kitle momenti ile örneklem momentinin eşitlenmesi ve tahmin edicinin çekilmesi.

\frac{\theta^2}{3} = M_2 \implies \theta^2 = 3 M_2 \implies \tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

elde edilir.

Momentler yönteminin temel prensibi gereği kitle momenti, karşılık gelen örneklem momentine (

M_2

) eşitlenerek denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ve Beklenen Değeri Sıfır Olan Dağılımlarda Parametre Tahmini

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru