Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTutarlılık (Consistency)

Bir çağrı merkezine gelen günlük çağrı sayısı, ortalaması λ\lambda olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu çağrı merkezinin nn günlük rassal örneklemi (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) gözlemlenmiştir.

İstatistik birimi, kitle ortalaması olan λ\lambda parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki farklı tahmin ediciyi önermiştir:

TA=∑i=1nXi+1nT_A = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n}
TB=X1+X2+X33T_B = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}
(Örneklem çapının n≥3n \ge 3 olduğu varsayıldığı durumlarda geçerlidir.)

Örneklem çapı sonsuza giderken (n→∞n \to \infty), bu iki tahmin edicinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri incelendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. TAT_A yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir, TBT_B ise yansız olmasına rağmen tutarsız bir tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    TAT_A yanlı olduğu için otomatik olarak tutarsızdır, TBT_B ise yansız olduğu için tutarlıdır.
  3. C
    Her iki tahmin edici de asimptotik olarak yansız olduklarından dolayı, hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşır ve tutarlıdırlar.
  4. D
    Her iki tahmin edici de parametrenin bilinen bir fonksiyonu olduğundan, değişmezlik (invariance) özelliği gereği tutarlıdır.
  5. E
    TAT_A yansız bir tahmin edicidir ve bu nedenle tutarlıdır; TBT_B ise varyansı örneklem çapına bağlı olmadığı için yanlı ve tutarsızdır.

Cevap

TAT_A tahmin edicisi yanlı fakat tutarlıdır; TBT_B tahmin edicisi ise yansız fakat tutarsızdır.
Bir tahmin edicinin yansızlığı, sonlu örneklem çapı için beklenen değerinin bilinmeyen parametreye eşit olmasıdır. TAT_A tahmin edicisinin beklenen değeri λ+1n\lambda + \frac{1}{n} olduğundan λ\lambda'dan farklıdır ve yanlıdır. TBT_B ise tam olarak λ\lambda beklenen değerini verdiği için yansızdır. Tutarlılık ise asimptotik bir kavram olup, tahmin edicinin varyansının ve yan miktarının n→∞n \to \infty iken sıfıra yaklaşmasını gerektirir (böylece Hata Kareler Ortalaması sıfıra gider). TAT_A'nın varyansı λn\frac{\lambda}{n} olup nn sonsuza giderken sıfıra yakınsarken, TBT_B'nin varyansı λ3\frac{\lambda}{3}'tür ve nn'den bağımsız sabit bir değerdir. Bu nedenle yeni veriler eklendikçe belirsizliği daralmayan TBT_B tutarsız, asimptotik yansızlığa sahip olup varyansı sıfıra giden TAT_A ise tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
TAT_A tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi
E(TA)=E(∑i=1nXi+1n)=nλ+1n=λ+1nE(T_A) = E\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n}\right) = \frac{n\lambda + 1}{n} = \lambda + \frac{1}{n} elde edilir.
Bir tahmin edicinin beklenen değeri doğrudan kitle parametresine (λ\lambda) eşitse yansızdır. Burada λ+1n≠λ\lambda + \frac{1}{n} \neq \lambda olduğu için TAT_A yanlıdır.
2
TAT_A tahmin edicisinin tutarlılık durumunun incelenmesi
Var(TA)=Var(∑Xi+1n)=nλn2=λnVar(T_A) = Var\left(\frac{\sum X_i + 1}{n}\right) = \frac{n\lambda}{n^2} = \frac{\lambda}{n} bulunur. n→∞n \to \infty için E(TA)→λE(T_A) \to \lambda ve Var(TA)→0Var(T_A) \to 0 olur.
Asimptotik olarak yansız olan ve varyansı sıfıra giden bir tahmin edicinin MSE değeri sıfıra gittiği için bu tahmin edici tutarlıdır. Bu nedenle TAT_A tutarlıdır.
3
TBT_B tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi
E(TB)=E(X1+X2+X33)=λ+λ+λ3=λE(T_B) = E\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{\lambda + \lambda + \lambda}{3} = \lambda elde edilir.
Beklenen değeri hesaplandığında kitle parametresine eşit olduğu için TBT_B yansız bir tahmin edicidir.
4
TBT_B tahmin edicisinin tutarlılık durumunun incelenmesi
Var(TB)=Var(X1+X2+X33)=λ+λ+λ9=3λ9=λ3Var(T_B) = Var\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{\lambda + \lambda + \lambda}{9} = \frac{3\lambda}{9} = \frac{\lambda}{3} bulunur. n→∞n \to \infty iken varyans sıfıra gitmez.
Tutarlılık için varyansın örneklem büyüdükçe daralması ve sıfıra yakınsaması gerekir. Sabit bir varyansa sahip olduğu için TBT_B tutarsızdır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Yansızlık ve Tutarlılık
Bu soruyu puanla

Konular

Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru