Examkin

Soru

Zorluk: KolayTutarlılık (Consistency)

Beklenen değeri E(X)=θE(X) = \theta ve varyansı 0<Var(X)=σ2<∞0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty olan bir kitleye ait nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem dikkate alınsın. θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki istatistik önerilmiştir:

I. T1=n+1nXˉT_1 = \frac{n+1}{n} \bar{X}
II. T2=X1T_2 = X_1

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken (n→∞n \rightarrow \infty) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. T1T_1 tutarlı bir tahmin edici iken, T2T_2 tutarsız bir tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    Her iki tahmin edici de yansız olduğu için tutarlıdır.
  3. C
    T1T_1 yanlı bir tahmin edici olduğu için tutarlı olamaz.
  4. D
    Yalnızca T2T_2 tutarlıdır çünkü beklenen değeri doğrudan θ\theta parametresine eşittir.
  5. E
    Her iki tahmin edici de tutarsızdır çünkü varyansları örneklemdeki gözlem değerlerine bağlıdır.

Cevap

T1T_1 tahmin edicisi asimptotik olarak yansız ve varyansı sıfıra gittiği için tutarlı iken, T2T_2 tahmin edicisinin varyansı örneklem hacminden bağımsız olarak sabit kaldığı için tutarsızdır.
Doğru seçenek, T1T_1'in yanlı olmasına rağmen asimptotik olarak beklenen değerinin θ\theta'ya yaklaşması ve varyansının sıfıra gitmesi nedeniyle tutarlı olduğunu; T2T_2'nin ise yansız olmasına rağmen varyansının σ2\sigma^2 olarak sabit kalması nedeniyle tutarsız olduğunu ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
T1T_1 için beklenen değer ve varyans limitlerini hesaplayın.
E(T1)=n+1nθ→θE(T_1) = \frac{n+1}{n}\theta \rightarrow \theta ve Var(T1)=(n+1n)2σ2n→0Var(T_1) = (\frac{n+1}{n})^2 \frac{\sigma^2}{n} \rightarrow 0
Tutarlılık için asimptotik yansızlık ve varyansın sıfıra gitmesi yeterli şartlardır.
2
T2T_2 için beklenen değer ve varyans limitlerini hesaplayın.
E(T2)=θE(T_2) = \theta ve Var(T2)=σ2Var(T_2) = \sigma^2
T2T_2 sadece tek bir gözlem kullandığı için varyansı nn değerinden etkilenmez.
3
Sonuçları karşılaştırarak tutarlılık durumunu belirleyin.
T1T_1 tutarlı, T2T_2 tutarsızdır.
T2T_2'nin varyansı n→∞n \rightarrow \infty iken σ2>0\sigma^2 > 0 kalmaktadır, bu da zayıf büyük sayılar yasasına göre yakınsamayı engeller.

Anahtar Kavram

Bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için örneklem hacmi büyüdükçe Hata Kareler Ortalamasının (MSE) sıfıra gitmesi (yani hem yan miktarının hem de varyansın sıfıra yaklaşması) gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru