Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTutarlılık (Consistency)

Bir kitleden çekilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı (iid) rastgele örnekleminin beklenen değeri E(Xi)=μE(X_i) = \mu ve varyansı 0<Var(Xi)=σ2<∞0 < Var(X_i) = \sigma^2 < \infty şeklindedir.

Kitle ortalaması μ\mu'yü tahmin etmek amacıyla, örneklem çapı n→∞n \to \infty iken aşağıdaki üç farklı tahmin edici tanımlanmıştır:

I. T1=Xˉn+ln⁡(n)nT_1 = \bar{X}_n + \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
II. T2=X1+X2+X33T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}
III. T3=nn−1XˉnT_3 = \frac{n}{n-1} \bar{X}_n

Bu tahmin edicilerin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri dikkate alındığında, aşağıda verilen ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. T1T_1 yanlı bir tahmin edici olmasına rağmen tutarlıdır; T2T_2 ise yansız bir tahmin edici olmasına karşın tutarsızdır.Cevap
  2. B
    T2T_2 tahmin edicisi her örneklem çapı için yansız olduğundan, aynı zamanda tutarlı bir tahmin edicidir.
  3. C
    Tutarlı bir tahmin edicinin her durumda yansız olması zorunlu olduğundan, T1T_1 ve T3T_3 tahmin edicileri yanlı oldukları için tutarsızdırlar.
  4. D
    T1T_1 tahmin edicisi yanlı olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplamasında yanlılık dikkate alınmaz ve sadece varyans sıfıra yakınsadığı için asimptotik yansızdır ancak tutarsızdır.
  5. E
    T3T_3 tahmin edicisinin yanlı olması Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyansından daima küçük olmasına yol açtığından, T3T_3 tutarsızdır.

Cevap

Verilen tahmin ediciler analiz edildiğinde, T1T_1'in yanlı fakat tutarlı olduğu, T2T_2'nin ise yansız olmasına rağmen tutarsız olduğu görülmektedir.
T1T_1 tahmin edicisi beklenen değerine ln⁡(n)n\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}} kadar yan içerdiği için yanlıdır; ancak n→∞n \to \infty iken hem varyansı (σ2n)\left(\frac{\sigma^2}{n}\right) hem de yan miktarı sıfıra yaklaştığı için Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfır olur ve tutarlılık şartını sağlar. Buna karşın T2T_2 tahmin edicisi sadece ilk 3 gözlemi kullandığı için yansız olmasına rağmen varyansı σ23\frac{\sigma^2}{3}'te sabit kalır. Varyansı sıfıra gitmediği için olasılıkta yakınsama gerçekleşmez ve tutarsız bir tahmin edicidir.

Adım Adım Çözüm

1
T1T_1 tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılığını analiz et.
E(T1)=μ+ln⁡(n)nE(T_1) = \mu + \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}} olduğundan T1T_1 yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty iken L'Hopital kuralı ile yan miktarı sıfıra yakınsar. Var(T1)=σ2n→0Var(T_1) = \frac{\sigma^2}{n} \to 0'dır. Hata Kareler Ortalaması MSE=Var+Bias2→0MSE = Var + Bias^2 \to 0 olduğu için T1T_1 tutarlıdır.
Bir tahmin edicinin tutarlılığını kanıtlamak için asimptotik olarak hem varyansının hem de yanlılığının karesinin sıfıra gitmesi yeterlidir.
2
T2T_2 tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılığını analiz et.
E(T2)=μ+μ+μ3=μE(T_2) = \frac{\mu+\mu+\mu}{3} = \mu olduğundan yansızdır. Ancak varyansı Var(T2)=σ23Var(T_2) = \frac{\sigma^2}{3} sabittir ve n→∞n \to \infty iken sıfıra gitmez. Bu nedenle olasılıkta kitle ortalamasına yakınsayamaz ve tutarsızdır.
Yansız bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için varyansının limit durumunda sıfıra eşitlenmesi veya farklı bir yolla Chebyshev eşitsizliğini sağlaması gerekir.
3
T3T_3 tahmin edicisinin özelliklerini değerlendir.
E(T3)=nn−1μ≠μE(T_3) = \frac{n}{n-1}\mu \neq \mu olduğundan yanlıdır. Yan miktarı μn−1→0\frac{\mu}{n-1} \to 0'dır. Var(T3)=n(n−1)2σ2→0Var(T_3) = \frac{n}{(n-1)^2}\sigma^2 \to 0 olduğu için MSE→0MSE \to 0 olur ve T3T_3 de tutarlıdır.
Tahmin edici yapısındaki katsayıların asimptotik davranışını inceleyerek limit özelliklerini teyit etmek.
4
Seçenekleri elde edilen matematiksel kanıtlarla karşılaştır.
Sadece T1T_1'in yanlı ama tutarlı olduğu ve T2T_2'nin yansız olmasına rağmen tutarsız olduğu ifade edilen seçenek doğru bilgiyi yansıtmaktadır.
Soruda kesinlikle doğru olan yargının tespit edilmesi istenmektedir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Yoluyla Tutarlılık ve Yansızlık Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru