Beklenen değeri E(X) = \theta ve varyansı 0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty olan bir ana kütl… — KPSS İstatistik

Beklenen değeri $E(X) = \theta$ ve varyansı $0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olan bir ana kütleden $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin edici tanımlanmıştır:

T_1 = X_1

T_2 = \frac{n+1}{n} \bar{X}

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ( $n \rightarrow \infty$ ) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
$T_1$ tutarlı bir tahmin edicidir, $T_2$ ise tutarsızdır.
$T_1$ tutarsız bir tahmin edicidir, $T_2$ ise tutarlıdır.Cevap
C
Her iki tahmin edici de tutarlı bir yapı sergilemektedir.
D
Her iki tahmin edici de tutarsız bir yapı sergilemektedir.
E
$T_1$ yansız olduğu için tutarlıdır, $T_2$ yanlı olduğu için tutarsızdır.

Cevap

İlk gözlem değeri olan tahmin edicinin varyansı sıfıra yakınsamadığı için tutarsızdır; örneklem ortalamasının genişletilmiş hali ise asimptotik olarak yansız ve varyansı sıfıra gittiği için tutarlıdır.

Doğru seçenek, ilk gözlemin varyansının örneklem hacmi artsa bile azalmadığını (tutarsız olduğunu) ve katsayılı örneklem ortalamasının ise hem beklenen değerinin parametreye yaklaştığını hem de varyansının sıfıra indiğini (tutarlı olduğunu) ifade eden açıklamadır.

Adım Adım Çözüm

T_1

tahmin edicisinin asimptotik davranışını inceleyin.

E(T_1) = \theta

(yansız) ve

Var(T_1) = \sigma^2

Tutarlılık için

Var(T_n) \rightarrow 0

şartı kontrol edilmelidir. Burada

n \rightarrow \infty

iken

\sigma^2 \neq 0

olduğundan

T_1

tutarsızdır.

T_2

tahmin edicisinin beklenen değer limitini hesaplayın.

E(T_2) = \frac{n+1}{n} E(\bar{X}) = \frac{n+1}{n} \theta \rightarrow \theta

Tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olup olmadığı tutarlılık için önemli bir göstergedir.

T_2

tahmin edicisinin varyans limitini hesaplayın.

Var(T_2) = (\frac{n+1}{n})^2 Var(\bar{X}) = (\frac{n+1}{n})^2 \frac{\sigma^2}{n} \rightarrow 1 \cdot 0 = 0

Hem asimptotik yansızlık şartı sağlandığı hem de varyans sıfıra gittiği için

T_2

tutarlı bir tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra giden tahmin ediciler tutarlıdır.

Daha Fazla Pratik

Tutarlılık için asimptotik yansızlık ve varyansın sıfıra gitme şartlarını diğer parametre tahmin edicileri (örneğin maksimum olabilirlik tahmin edicileri) üzerinde test edebilirsiniz.

Tahmini Süre:50s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru