Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTutarlılık (Consistency)

Bir kitleye ait beklenen değer E(Xi)=θE(X_i) = \theta ve varyans Var(Xi)=σ2<∞Var(X_i) = \sigma^2 < \infty olmak üzere, bu kitleden çekilen nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı (iid) rassal örneklemi kullanılarak θ\theta parametresi için aşağıdaki iki tahmin edici önerilmiştir:

I. T1=X1T_1 = X_1
II. T2=1n+1∑i=1nXiT_2 = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, n→∞n \to \infty durumunda bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. T1T_1 yansız ancak tutarsızdır; T2T_2 ise yanlı ancak tutarlıdır.Cevap
  2. B
    T1T_1 tutarlı iken T2T_2 tutarsızdır.
  3. C
    T2T_2 yanlı olduğu için tutarlı bir tahmin edici olamaz.
  4. D
    Her iki tahmin edici de yansız ve tutarlıdır.
  5. E
    T1T_1 yanlı ve tutarsız; T2T_2 yansız ve tutarlıdır.

Cevap

T1T_1 yansız ancak tutarsızdır; T2T_2 ise yanlı ancak tutarlıdır.
T1T_1 tahmin edicisi kitle ortalamasına eşit bir beklenen değere sahip olduğu için yansızdır, ancak varyansı örneklem büyüklüğüne bağlı kalmaksızın sabit (σ2\sigma^2) olduğundan tutarsızdır. T2T_2 tahmin edicisi ise paydadaki n+1n+1 nedeniyle yanlıdır, ancak örneklem hacmi arttıkça hem yan miktarı hem de varyansı sıfıra yaklaştığı için tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
T1T_1 tahmin edicisinin özelliklerini belirleyin.
E(T1)=E(X1)=θE(T_1) = E(X_1) = \theta (Yansız). Var(T1)=Var(X1)=σ2Var(T_1) = Var(X_1) = \sigma^2.
Yansızlık için beklenen değerin parametreye eşit olması gerekir. Tutarlılık için ise n→∞n \to \infty iken tahmin edicinin parametreye olasılıkta yakınsaması (Var→0Var \to 0) gerekir.
2
T1T_1 için tutarlılık kontrolü yapın.
lim⁡n→∞Var(T1)=σ2≠0\lim_{n\to\infty} Var(T_1) = \sigma^2 \neq 0.
Örneklem hacmi ne kadar artarsa artsın, T1T_1 sadece ilk gözleme bağlı olduğundan varyansı azalmaz ve parametreye yakınsamaz, dolayısıyla tutarsızdır.
3
T2T_2 tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplayın.
E(T2)=nn+1θ≠θE(T_2) = \frac{n}{n+1} \theta \neq \theta (Yanlı).
T2T_2 tahmin edicisi nn+1Xˉ\frac{n}{n+1}\bar{X} şeklinde ifade edilebilir. Katsayı 1'den farklı olduğu için yansız değildir.
4
T2T_2 için Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplayarak tutarlılığı kontrol edin.
MSE(T2)=nσ2(n+1)2+(−θn+1)2MSE(T_2) = \frac{n\sigma^2}{(n+1)^2} + \left(\frac{-\theta}{n+1}\right)^2. lim⁡n→∞MSE(T2)=0\lim_{n\to\infty} MSE(T_2) = 0.
Hata kareler ortalaması sıfıra gittiği için (hem varyans hem de yan miktarının karesi asimptotik olarak sıfır olur), T2T_2 tutarlı bir tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Tutarlılık (Consistency) için yeterli koşul, Hata Kareler Ortalamasının (MSE) örneklem hacmi sonsuza giderken sıfıra yakınsamasıdır. Bir tahmin edicinin tutarlı olması için mutlaka yansız olması gerekmez; yanlı olup asimptotik olarak parametreye yakınsayabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru